Homogeneous coordinate ringIn algebraic geometry, the homogeneous coordinate ring R of an algebraic variety V given as a subvariety of projective space of a given dimension N is by definition the quotient ring R = K[X0, X1, X2, ..., XN] / I where I is the homogeneous ideal defining V, K is the algebraically closed field over which V is defined, and K[X0, X1, X2, ..., XN] is the polynomial ring in N + 1 variables Xi. The polynomial ring is therefore the homogeneous coordinate ring of the projective space itself, and the variables are the homogeneous coordinates, for a given choice of basis (in the vector space underlying the projective space).
Rational normal curveIn mathematics, the rational normal curve is a smooth, rational curve C of degree n in projective n-space Pn. It is a simple example of a projective variety; formally, it is the Veronese variety when the domain is the projective line. For n = 2 it is the plane conic Z0Z2 = Z, and for n = 3 it is the twisted cubic. The term "normal" refers to projective normality, not normal schemes. The intersection of the rational normal curve with an affine space is called the moment curve.
Hilbert series and Hilbert polynomialIn commutative algebra, the Hilbert function, the Hilbert polynomial, and the Hilbert series of a graded commutative algebra finitely generated over a field are three strongly related notions which measure the growth of the dimension of the homogeneous components of the algebra. These notions have been extended to filtered algebras, and graded or filtered modules over these algebras, as well as to coherent sheaves over projective schemes.
Twisted cubicIn mathematics, a twisted cubic is a smooth, rational curve C of degree three in projective 3-space P3. It is a fundamental example of a skew curve. It is essentially unique, up to projective transformation (the twisted cubic, therefore). In algebraic geometry, the twisted cubic is a simple example of a projective variety that is not linear or a hypersurface, in fact not a complete intersection. It is the three-dimensional case of the rational normal curve, and is the of a Veronese map of degree three on the projective line.
Théorème de BézoutLe théorème de Bézout, attribué à Étienne Bézout, affirme que deux courbes algébriques projectives planes de degrés m et n, définies sur un corps algébriquement clos et sans composante irréductible commune, ont exactement mn points d'intersection, comptés avec leur multiplicité. La forme faible du théorème dit que le nombre d'intersections (sans tenir compte des multiplicités) est majoré par . Autrement dit, si sont deux polynômes homogènes à coefficients dans (avec et ) de degrés respectifs et sans facteur commun, alors le système admet au plus solutions dans le plan projectif .
Ample line bundleIn mathematics, a distinctive feature of algebraic geometry is that some line bundles on a projective variety can be considered "positive", while others are "negative" (or a mixture of the two). The most important notion of positivity is that of an ample line bundle, although there are several related classes of line bundles. Roughly speaking, positivity properties of a line bundle are related to having many global sections. Understanding the ample line bundles on a given variety X amounts to understanding the different ways of mapping X into projective space.
Classe de ChernEn mathématiques, les classes de Chern sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels. Elles tiennent leur nom du mathématicien sino-américain Shiing-Shen Chern, qui les a introduites en 1946 dans le cas complexe. Les classes de Chern ont des applications importantes en mathématiques, notamment en topologie et géométrie algébriques, et en physique dans l'étude des théories de Yang-Mills et des champs quantiques. Distinguer deux fibrés vectoriels sur une variété lisse est en général un problème difficile.
Base de GröbnerEn mathématiques, une base de Gröbner (ou base standard, ou base de Buchberger) d'un idéal I de l'anneau de polynômes K[X, ..., X] est un ensemble de générateurs de cet idéal, vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Cette notion a été introduite dans les années 1960, indépendamment par Heisuke Hironaka et Bruno Buchberger, qui lui a donné le nom de son directeur de thèse Wolfgang Gröbner. Les bases de Gröbner ont le grand avantage de ramener l'étude des idéaux polynomiaux à l'étude des idéaux monomiaux (c'est-à-dire formés de monômes), plus faciles à appréhender.
Courbe algébriqueEn mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une courbe algébrique est une variété algébrique (ou un schéma de type fini) sur un corps, dont les composantes irréductibles sont de dimension 1. Cette définition est la généralisation moderne de celle des courbes algébriques classiques, telles que les coniques, définies, dans le cas des courbes planes, comme l'ensemble des points solutions d'une équation polynomiale. Sous sa forme la plus générale, une courbe algébrique sur un corps est une variété algébrique de dimension 1 sur , séparée pour éviter des pathologies.
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
