Noyau (théorie des catégories)La théorie des catégories est une théorie unificatrice des Mathématiques. La notion de noyau est une notion centrale en algèbre. Ici, le concept de noyau est un concept général applicable à de nombreuses branches des mathématiques abstraites. Considérons dans une catégorie deux flèches et de même source et de même but . Une flèche de but est dite noyau ou égalisateur du couple si elle vérifie les deux propriétés suivantes : (1) On a uk=vk (2) Pour toute flèche telle que l'on ait , il existe une flèche unique telle que .
Normal morphismIn and its applications to mathematics, a normal monomorphism or conormal epimorphism is a particularly well-behaved type of morphism. A normal category is a category in which every monomorphism is normal. A conormal category is one in which every epimorphism is conormal. A monomorphism is normal if it is the of some morphism, and an epimorphism is conormal if it is the of some morphism. A category C is binormal if it's both normal and conormal. But note that some authors will use the word "normal" only to indicate that C is binormal.
Catégorie des groupesEn mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes. La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante : Ses objets sont les groupes ; Les morphismes sont les morphismes de groupes, munis de la composition usuelle de fonctions, l'identité étant l'application identité. En théorie des catégories supérieures il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même.
ÉpimorphismeEn mathématiques, le terme « épimorphisme » peut avoir deux sens. 1) En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un morphisme f : X → Y qui est simplifiable à droite de la manière suivante: g1 o f = g2 o f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1, g2 : Y → Z. Suivant ce diagramme, on peut voir les épimorphismes comme des analogues aux fonctions surjectives, bien que ce ne soit pas exactement la même chose. Le dual d'un épimorphisme est un monomorphisme (c'est-à-dire qu'un épimorphisme dans une catégorie C est un monomorphisme dans la catégorie duale Cop).
Catégorie des groupes abéliensEn mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens. La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi : Les objets sont les groupes abéliens ; Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes. C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes. La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur : La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie.
Diagramme commutatifEn mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, si l'on suit à travers le diagramme un chemin d'un objet à un autre, le résultat par composition des morphismes ne dépend que de l'objet de départ et de l'objet d'arrivée. Cette définition peut être visualisée par le dessin élémentaire ci-contre. On se place dans la catégorie Ens. Les objets sont les ensembles A, B et C en réalité tous égaux ici à {1,2,3,4}.
Kernel (linear algebra)In mathematics, the kernel of a linear map, also known as the null space or nullspace, is the linear subspace of the domain of the map which is mapped to the zero vector. That is, given a linear map L : V → W between two vector spaces V and W, the kernel of L is the vector space of all elements v of V such that L(v) = 0, where 0 denotes the zero vector in W, or more symbolically: The kernel of L is a linear subspace of the domain V.
Morphisme zéroDans la théorie des catégories, une branche des mathématiques, un morphisme zéro est un type spécial de morphisme présentant certaines propriétés comme celles des morphismes vers et depuis un objet zéro . Supposons que C soit une catégorie, et f : X → Y un morphisme de la catégorie C. Le morphisme f est appelé morphisme constant (ou encore morphisme zéro à gauche) si pour tout objet W de la catégorie C et tout morphisme de cette catégorie , on a fg = fh.
Catégorie abélienneEn mathématiques, les catégories abéliennes forment une famille de catégories qui contient celle des groupes abéliens. Leur étude systématique a été instituée par Alexandre Grothendieck pour éclairer les liens qui existent entre différentes théories cohomologiques, comme la cohomologie des faisceaux ou la cohomologie des groupes. Toute catégorie abélienne est additive. Une catégorie abélienne est une catégorie additive dans laquelle on peut additionner les flèches et définir pour toute flèche les notions de noyau, conoyau et .
Preadditive categoryIn mathematics, specifically in , a preadditive category is another name for an Ab-category, i.e., a that is over the , Ab. That is, an Ab-category C is a such that every hom-set Hom(A,B) in C has the structure of an abelian group, and composition of morphisms is bilinear, in the sense that composition of morphisms distributes over the group operation. In formulas: and where + is the group operation. Some authors have used the term additive category for preadditive categories, but here we follow the current trend of reserving this term for certain special preadditive categories (see below).
