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Limite (mathématiques élémentaires)

Résumé

La notion de limite est très intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en +\infty ou -\infty (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage. Les limites servent (entre autres) à définir les notions fondamentales de continuité et de dérivabilité. Pour une présentation générale, plus complète et plus abstraite, se référer à Limite (mathématiques). Limite d'une fonction en un point p On s'intéresse ici à une fonction numérique f d'une variable réelle, de domaine de définition D, et à un réel p « adhérent à D » — intuitivement il est possible de s'approcher infiniment près du point p, sans obligatoirement l'atteindre, en restant à l'intérieur du domaine de définition de f — et même, pour simplifier, tel que D cont

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires)

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Generalized Pickands constants and stationary max-stable processes

Sebastian Engelke

Pickands constants play a crucial role in the asymptotic theory of Gaussian processes. They are commonly defined as the limits of a sequence of expectations involving fractional Brownian motions and, as such, their exact value is often unknown. Recently, Dieker and Yakir (Bernoulli, 20(3), 1600-1619, 2014) derived a novel representation of Pickands constant as a simple expected value that does not involve a limit operation. In this paper we show that the notion of Pickands constants and their corresponding Dieker-Yakir representations can be extended to a large class of stochastic processes, including general Gaussian and Levy processes. We furthermore develop a link to extreme value theory and show that Pickands-type constants coincide with certain constants arising in the study of max-stable processes with mixed moving maxima representations.

Springer Verlag2017

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Generalized Sampling: Stability and Performance Analysis

Michaël Unser

Generalized sampling provides a general mechanism for recovering an unknown input function

f(x) \in H

from the samples of the responses of m linear shift-invariant systems sampled at 1 ⁄ mth the reconstruction rate. The system can be designed to perform a projection of f(x) onto the reconstruction subspace

V(\varphi) = span \{\varphi(x - k)\} _{ k \in Z }

; for example, the family of bandlimited signals with

\varphi(x) = sinc(x)

. This implies that the reconstruction will be perfect when the input signal is included in V(φ): the traditional framework of Papoulis' generalized sampling theory. Otherwise, one recovers a signal approximation

f ^{ ~ } (x) \in V(\varphi)

that is consistent with f(x) in the sense that it produces the same measurements. To characterize the stability of the algorithm, we prove that the dual synthesis functions that appear in the generalized sampling reconstruction formula constitute a Riesz basis of V(φ), and we use the corresponding Riesz bounds to define the condition number of the system. We then use these results to analyze the stability of various instances of interlaced and derivative sampling. Next, we consider the issue of performance, which becomes pertinent once we have extended the applicability of the method to arbitrary input functions, that is, when H is considerably larger than V(φ), and the reconstruction is no longer exact. By deriving general error bounds for projectors, we are able to show that the generalized sampling solution is essentially equivalent to the optimal minimum error approximation (orthogonal projection), which is generally not accessible. We then perform a detailed analysis for the case in which the analysis filters are in

L _{ 2 }

and determine all relevant bound constants explicitly. Finally, we use an interlaced sampling example to illustrate these various calculations.

IEEE1997

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Generalized Sampling: Stability and Performance Analysis

Michaël Unser

Generalized sampling provides a general mechanism for recovering an unknown input function

f(x) \in H

V(\varphi) = span \{\varphi(x - k)\} _{ k \in Z }

; for example, the family of bandlimited signals with

\varphi(x) = sinc(x)

f ^{ ~ } (x) \in V(\varphi)

L _{ 2 }

and determine all relevant bound constants explicitly. Finally, we use an interlaced sampling example to illustrate these various calculations.

IEEE1997