Indépendance algébrique
En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble de nombres, sur un corps commutatif, décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans ce corps. Soient L un corps commutatif, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement libre sur K, ou que ses éléments sont algébriquement indépendants sur K si, pour tout suite finie (s, ... , s) d'éléments distincts de S et tout polynôme non nul P(X, ... , X) à coefficients dans K on a P(s, ... , s) ≠ 0. Cas particulier K = et L = Définition : est le plus petit corps de contenant et u,v . Soit on dit que est algébrique sur s' il existe un polynome non-nul tel que En particulier : où Définition degré de transcendant (sur Q) : = Le cardinal d'une plus grande famille algébriquement libre Théorème : algébriquement indépendants Propriété : {} algébriquement indépendants et alors {} algébriquement indépendants. En effet {} algébriquement indépendants {} algébriques sur {u,v} algébriquement indépendants. ex:
- à partir du théorème de Chudnovsky on montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants.
- On montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants.
- à partir du théorème Nesterenko on montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants.
- à partir du théorème Nesterenko on montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants. d'où {} algébriquement indépendants. Un singleton {s} est algébriquement libre sur K si et seulement si son élément s est transcendant sur K. Si S est algébriquement libre sur K alors il l'est sur tout sous-corps de K. Si S est algébriquement libre sur K alors toute partie de S l'est aussi. Plus précisément, si V et W sont deux parties de L disjointes, alors leur réunion V⋃W est algébriquement libre sur K si et seulement si V est algébriquement libre sur K et W est algébriquement libre sur le sous-corps K(V) de L.