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Concept
Indépendance algébrique
Résumé
En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble de nombres, sur un corps commutatif, décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans ce corps.
Soient L un corps commutatif, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement libre sur K, ou que ses éléments sont algébriquement indépendants sur K si, pour tout suite finie (s, ... , s) d'éléments distincts de S et tout polynôme non nul P(X, ... , X) à coefficients dans K on a
P(s, ... , s) ≠ 0.
Cas particulier K = et L =
Définition :
est le plus petit corps de contenant et u,v .
Soit on dit que est algébrique sur s' il existe un polynome non-nul tel que
En particulier :
où
Définition degré de transcendant (sur Q) :
= Le cardinal d'une plus grande famille algébriquement libre
Théorème :
algébriquement indépendants
Propriété :
{} algébriquement indépendants et
alors
{} algébriquement indépendants.
En effet
{} algébriquement indépendants
{} algébriques sur
{u,v} algébriquement indépendants.
ex:
- à partir du théorème de Chudnovsky on montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants.
- On montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants.
- à partir du théorème Nesterenko on montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants.
- à partir du théorème Nesterenko on montre que {} algébriquement indépendants. comme on en déduit que {} algébriquement indépendants. d'où {} algébriquement indépendants. Un singleton {s} est algébriquement libre sur K si et seulement si son élément s est transcendant sur K. Si S est algébriquement libre sur K alors il l'est sur tout sous-corps de K. Si S est algébriquement libre sur K alors toute partie de S l'est aussi. Plus précisément, si V et W sont deux parties de L disjointes, alors leur réunion V⋃W est algébriquement libre sur K si et seulement si V est algébriquement libre sur K et W est algébriquement libre sur le sous-corps K(V) de L.
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