En mathématiques, un corps global est un corps d'un des types suivants : un corps de nombres, c'est-à-dire une extension finie de Q un corps de fonctions d'une courbe algébrique sur un corps fini, c'est-à-dire une extension finie du corps k(t) des fractions rationnelles à une variable à coefficients dans un corps fini k (de façon équivalente, c'est un corps de type fini et de degré de transcendance 1 sur un corps fini). Emil Artin et George Whaples ont donné une caractérisation axiomatique de ces corps via la théorie des valuations. Il existe de nombreuses similarités formelles entre ces deux types de corps. Un corps de l'un ou de l'autre type possède la propriété que toutes ses complétions sont des corps localement compacts (voir corps locaux). Chaque corps de l'un ou de l'autre type peut être vu comme le corps des fractions d'un anneau de Dedekind dans lequel chaque idéal non nul est d'indice fini. Dans chaque cas, on a la formule du produit pour les éléments x non nuls : L'analogie entre ces deux approches a été source d'une grande motivation pour la théorie algébrique des nombres. L'idée d'une analogie entre les corps de nombres et les surfaces de Riemann remonte à Richard Dedekind et Heinrich Weber, au . L'analogie plus stricte exprimée par l'idée de corps global, dans laquelle l'aspect d'une surface de Riemann en tant que courbe algébrique correspond à des courbes définies sur un corps fini, a été construite dans les années 1930 et a culminé avec la résolution de l'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis par André Weil en 1940. La terminologie est due à Weil, qui écrivit en 1967 Basic Number Theory, en partie pour élaborer le parallèle. Il est généralement plus facile de travailler dans le cas des corps de fonctions puis d'essayer de développer des techniques similaires du côté des corps de nombres. Le développement de la théorie d'Arakelov et son exploitation par Gerd Faltings dans sa démonstration de la conjecture de Mordell est un exemple spectaculaire.

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Concepts associés (19)
Corps de nombres
En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Théorème de Faltings
vignette|Gerd Faltings. En théorie des nombres, le théorème de Faltings, précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Il a été conjecturé par le mathématicien anglais Louis Mordell en 1922 et démontré par Gerd Faltings en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée. Soit l'équation définie de la manière suivante : avec P un polynôme à coefficients rationnels.
Endomorphisme de Frobenius
En mathématiques, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique. Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme.
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