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Concept
Catégorie de modèles
Résumé
En mathématiques, plus précisément en théorie de l'homotopie, une catégorie de modèles est une catégorie dotée de trois classes de morphismes, appelés équivalences faibles, fibrations et cofibrations, satisfaisant à certains axiomes. Ceux-ci sont abstraits du comportement homotopique des espaces topologiques et des complexes de chaînes. La théorie des catégories de modèles est une sous-branche de la théorie des catégories et a été introduite par Daniel Quillen en 1967 pour généraliser l'étude de l'homotopie aux catégories et ainsi avoir de nouveaux outils pour travailler avec l'homotopie dans les espaces topologiques.
Ces dernières décennies, le langage des catégories de modèles a été utilisé en K-théorie algébrique et en géométrie algébrique, où les approches homotopiques ont mené à des résultats profonds.
Les catégories de modèles fournissent un formalisme naturel pour la théorie de l'homotopie. On peut munir les espaces topologiques d'une structure de catégorie de modèles correspondant à la théorie usuelle. De même, les objets considérés comme des espaces admettent souvent une structure de catégorie de modèles, à l'instar de la catégorie des ensembles simpliciaux.
Une autre catégorie pouvant être munie d'une telle structure est la catégorie des complexes de chaînes de A-modules pour un anneau commutatif A. Dans ce contexte, la théorie de l'homotopie revient à l'algèbre homologique. Ainsi, l'algèbre homotopique de Quillen englobe dans un certain sens l'algèbre homologique et l'on peut ainsi généraliser l'homologie à d'autres objets comme les groupes ou les A-algèbres.
Une structure de catégorie de modèles sur une catégorie M consiste dans la donnée de trois classes de morphismes distinguées : les équivalences faibles, les fibrations et les cofibrations, et de deux factorisations fonctorielles (α, β) et (γ, δ) satisfaisant aux axiomes suivants.
M est complète et cocomplète (i.e. elle possède toutes les petites limites et toutes les petites colimites).
Si f et g sont deux flèches de M composables (i.e.
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