Logarithme d'une matrice

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, un logarithme d'une matrice est une autre matrice telle que son exponentielle soit égale à la matrice initiale. C'est une généralisation de la notion usuelle de logarithme, considéré comme inverse de la fonction exponentielle, mais le logarithme n'existe pas pour toutes les matrices, et n'est pas unique en général. L'étude du logarithme des matrices conduit au développement de la , car les matrices ayant un logarithme appartiennent à un groupe de Lie, et le logarithme est alors l'élément correspondant de l'algèbre de Lie associée. Une matrice B est un logarithme de la matrice A si l'exponentielle de B est A : Les rotations planes fournissent un exemple simple. Une rotation d'angle α (autour de l'origine, c'est-à-dire considérée comme rotation vectorielle) est représentée par la matrice 2 × 2 Pour tout entier n, la matrice est un logarithme de A ; on peut remarquer que cela correspond aux logarithmes complexes b du nombre , dans l'isomorphisme associant au nombre complexe la matrice . Ainsi, la matrice A possède une infinité de logarithmes (l'angle de rotation n'étant déterminé qu'à un multiple de 2π près). Dans le langage de la , les matrices de rotation A sont éléments du groupe de Lie SO(2). Leurs logarithmes, les matrices B correspondantes, sont éléments de l'algèbre de Lie so(2), formée de toutes les matrices antisymétriques, et dont la matrice est un générateur. Dans le cas complexe, la matrice A possède un logarithme si et seulement si elle est inversible. Ce logarithme n'est pas unique, mais si A n'a pas de valeurs propres réelles négatives, elle a un logarithme unique dont les valeurs propres sont toutes dans la bande du plan complexe définie par {z ∈ C | −π < Im z < π} ; ce logarithme est appelé le logarithme principal. Si l'on se limite à des matrices à coefficients réels, on a un critère plus compliqué : une matrice réelle admet un logarithme réel si et seulement si elle est inversible et si chaque bloc de Jordan correspondant à une valeur propre réelle négative apparait un nombre pair de fois (sinon, elle n'a que des logarithmes complexes).