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Concept
Algèbre de Poisson
Résumé
Une algèbre de Poisson est une algèbre associative sur laquelle est défini un crochet de Lie qui satisfait la règle de Leibniz. L'exemple le plus important en est donné par l'algèbre des fonctions lisses sur une variété de Poisson ou, plus particulièrement, sur une variété symplectique. Ces algèbres ont été nommées algèbres de Poisson en l'honneur de Siméon Denis Poisson.
Une algèbre de Poisson est une algèbre munie d'une application bilinéaire de dans vérifiant les relations, :
(antisymétrie)
) (identité de Jacobi)
(règle de Leibniz)
Une sous-algèbre de Poisson de est une sous-algèbre de l'algèbre associative qui est stable pour le crochet de Poisson.
Un idéal de Poisson est un idéal pour le produit associatif, tel que :
Un morphisme d'algèbres de Poisson est un morphisme d'algèbres associatives qui respecte le crochet de Poisson, c'est-à-dire tel que :
Une algèbre de Poisson n'est pas nécessairement commutative.
Toute algèbre peut être trivialement munie d'une structure de Poisson en posant ,
Si est unitaire,
Le noyau d'un morphisme d'algèbres de Poisson est un idéal.
Un endomorphisme de est dit canonique s'il est simultanément une dérivation pour le produit d'algèbre associative de et pour son crochet de Poisson. Pour toute , l'endomorphisme défini par est un endomorphisme canonique. Un endomorphisme de la forme est appelé canonique. On note l'ensemble de endomorphismes hamiltoniens, celui des endomorphismes canoniques et celui des dérivations. On a alors : .
La catégorie opposée de celle des algèbres de Poisson réelles (commutatives) peut être identifiée avec la catégorie des systèmes mécaniques classiques.
L'exemple premier exemple d'algèbre de Poisson est l'algèbre des fonctions lisses à valeurs réelles sur une variété symplectique . La non dégénérescence de la 2-forme permet d'identifier le fibré tangent et le fibré cotangent de la variété et ainsi d'associer à le champ de vecteurs hamiltonien par la formule :. Il est alors aisé de vérifier que définit un crochet de Poisson sur .
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