Cohomologie de Weil

Une cohomologie de Weil est une théorie cohomologique des variétés algébriques, à coefficients dans un corps, satisfaisant un certain jeu d'axiomes. La nécessité d'une telle théorie a été postulée par André Weil, à l'origine pour garantir une formule de Lefschetz. Weil avait suggéré que les conjectures qui portent son nom se déduiraient de l'existence d'une théorie cohomologique des variétés sur les corps finis, analogue à la théorie cohomologique à coefficients rationnels pour les variétés complexes. En effet, la formule de Lefschetz permet d'exprimer les points fixes d'un automorphisme comme une somme alternée de traces des groupes de cohomologie : si une telle cohomologie pouvait être construite pour les variétés définies sur les corps finis, la fonction zêta pourrait s'écrire à partir d'eux. Cependant, on ne peut pas considérer des coefficients rationnels, ni réels, ni p-adiques, si p est la caractéristique du corps fini considéré. Il est toutefois possible de travailler avec des coefficients l-adique, où l ≠ p : c'est ce que fait la cohomologie l-adique et c'est effectivement ainsi que la dernière conjecture de Weil a été démontrée par Pierre Deligne en 1974. Dans les années 1970, la théorie des motifs paraissait une bonne candidate pour devenir une « cohomologie de Weil universelle », une approche qui n'a pas porté ses fruits. Une voie différente, la cohomologie motivique, est aujourd'hui davantage explorée, notamment depuis la construction de Voevodksy. Cette construction lui a permis de donner une preuve de la conjecture de Milnor pour laquelle il a obtenu la médaille Fields en 2002. D'une manière générale, une telle théorie doit conserver des propriétés de la cohomologie classique (singulière) lorsqu'on l'applique à des variétés se comportant bien : avoir une dualité de Poincaré, une formule de Lefschetz, les i-èmes groupes de cohomologie s'annulent pour i < 0 et i > 2d où d est la dimension de la variété — les autres sont des k-espaces vectoriels de dimension finie où k est le corps de base de la variété.