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Concept
Groupe métaplectique
Résumé
En mathématiques, le groupe métaplectique Mp2n est un revêtement à deux feuillets du groupe symplectique Sp2n. Il peut être défini sur les nombres réels ou sur les nombres nombres p-adiques. De manière plus générale, on peut considérer la construction sur un corps local ou un corps fini arbitraire, voire sur l'Anneau des adèles.
Le groupe métaplectique possède une représentation linéaire de dimension infinie particulièrement importante, la représentation de Weil. Elle a été utilisée par André Weil pour donner une interprétation en théorie des représentations de la fonctions thêta. Elle joue un rôle important dans la théorie des formes modulaires de poids semi-entier et de la correspondance thêta.
Le groupe de Lie symplectique Sp2n(R), ayant Z pour groupe fondamental, admet un unique revêtement à deux feuillets connexe, noté Mp2n(R) et appelé groupe métaplectique.
Le groupe métaplectique Mp2(R) n'est pas un groupe de matrices : il n'admet aucune représentation fidèle de dimension finie. Par conséquent, le problème de sa réalisation explicite est non trivial. Il possède toutefois des représentations irréductibles fidèles de dimension infinie, telles que la représentation de Weil décrite ci-dessous.
On peut démontrer que pour tout corps local F différent de C, le groupe symplectique Sp2n(F) admet une extension centrale parfaite unique de noyau le groupe cyclique d'ordre 2 Z/2Z, appelé groupe métaplectique sur F. C'est l'équivalent algébrique de la notion topologique de revêtement à deux feuillets lorsque F = R. L'approche par la notion d'extension centrale est utile même dans le cas du groupe métaplectique réel car elle permet de décrire l'action du groupe via un cocycle particulier.
Pour n = 1, le groupe symplectique coïncide avec le groupe spécial linéaire SL2(R). Le groupe agit de façon biholomorphe par homographies sur le demi-plan de Poincaré :
où
est une matrice 2x2 de déterminant 1 et z appartient au demi-plan de Poincaré. Cette action permet de construire explicitement le revêtement métaplectique de SL2(R).
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