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Concept
Espace de de Sitter
Résumé
En mathématiques, l’espace de de Sitter est un espace maximalement symétrique en quatre dimensions de courbure positive en signature . Il généralise en ce sens la 4-sphère au-delà de la géométrie euclidienne.
Le nom vient de Willem de Sitter. La dimension 4 est très utilisée car elle correspond à la relativité générale. En fait, il existe en dimension entière .
On peut définir l'espace de de Sitter comme une sous-variété d'un espace de Minkowski généralisé à une dimension supplémentaire. Considérons l'espace de Minkowski R1,n muni de la métrique standard :
L'espace de de Sitter est la sous-variété décrite par l'hyperboloïde à une nappe
où est une constante non nulle. La métrique dans un espace de de Sitter est celle induite par la métrique de Minkowski ambiante. Elle est non dégénérée, de signature lorentzienne. (Remarque : si l'on remplace par dans la définition ci-dessus, on obtient un hyperboloïde à deux nappes. La métrique induite est dans ce cas définie positive, et chaque nappe constitue un exemplaire d'un espace hyperbolique de dimension n. Pour une démonstration détaillée, voir géométrie de l'espace de Minkowski.)
Topologiquement, l'espace de de Sitter est R × Sn−1 (de telle sorte que, si n ≥ 3 alors l'espace de de Sitter est simplement connexe).
Le groupe d'isométrie de l'espace de de Sitter est le groupe de Lorentz O(1, n). La métrique possède donc n(n + 1)/2 vecteurs de Killing indépendants et possède une symétrie maximale. Tout espace à symétrie maximale a une courbure constante. Le tenseur de courbure de Riemann est donné par
L'espace de de Sitter est une variété d'Einstein puisque le tenseur de courbure de Ricci est proportionnel à la métrique :
Cela signifie que l'espace de de Sitter est solution des équations d'Einstein dans le vide, pour une constante cosmologique
La courbure scalaire de l'espace de de Sitter vaut :
Dans le cas n = 4, on obtient Λ = 3/α2 et R = 4Λ = 12/α2.
Espace anti de Sitter
Univers de de Sitter
Inflation cosmique
Catégorie:Géométrie lorentzienne
Catégorie:Cosmologie
Catégori
Source officielle
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