In mathematics, the isometry group of a metric space is the set of all bijective isometries (that is, bijective, distance-preserving maps) from the metric space onto itself, with the function composition as group operation. Its identity element is the identity function. The elements of the isometry group are sometimes called motions of the space.
Every isometry group of a metric space is a subgroup of isometries. It represents in most cases a possible set of symmetries of objects/figures in the space, or functions defined on the space. See symmetry group.
A discrete isometry group is an isometry group such that for every point of the space the set of images of the point under the isometries is a discrete set.
In pseudo-Euclidean space the metric is replaced with an isotropic quadratic form; transformations preserving this form are sometimes called "isometries", and the collection of them is then said to form an isometry group of the pseudo-Euclidean space.
The isometry group of the subspace of a metric space consisting of the points of a scalene triangle is the trivial group. A similar space for an isosceles triangle is the cyclic group of order two, C2. A similar space for an equilateral triangle is D3, the dihedral group of order 6.
The isometry group of a two-dimensional sphere is the orthogonal group O(3).
The isometry group of the n-dimensional Euclidean space is the Euclidean group E(n).
The isometry group of the Poincaré disc model of the hyperbolic plane is the projective special unitary group PSU(1,1).
The isometry group of the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane is PSL(2,R).
The isometry group of Minkowski space is the Poincaré group.
Riemannian symmetric spaces are important cases where the isometry group is a Lie group.
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En géométrie, un groupe ponctuel de symétrie est un sous-groupe d'un groupe orthogonal : il est composé d'isométries, c'est-à-dire d'applications linéaires laissant invariants les distances et les angles. Le groupe ponctuel de symétrie d'une molécule est constitué des isométries qui laissent la molécule, en tant que forme géométrique, invariante. thumb|Figure 1 : exemple de rotation En cristallographie, un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent invariants la morphologie d’un cristal et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure atomique d’un cristal est décrite par les groupes d’espace).
En mathématiques, l’espace de de Sitter est un espace maximalement symétrique en quatre dimensions de courbure positive en signature . Il généralise en ce sens la 4-sphère au-delà de la géométrie euclidienne. Le nom vient de Willem de Sitter. La dimension 4 est très utilisée car elle correspond à la relativité générale. En fait, il existe en dimension entière . On peut définir l'espace de de Sitter comme une sous-variété d'un espace de Minkowski généralisé à une dimension supplémentaire.
En mathématiques, et plus spécifiquement en géométrie différentielle, un espace symétrique est une variété, espace courbe sur lequel on peut définir une généralisation convenable de la notion de symétrie centrale. La définition précise de la notion d'espace symétrique dépend du type de structure dont on munit la variété. Le plus couramment, on entend par espace symétrique une variété munie d'une métrique riemannienne pour laquelle l'application de symétrie le long des géodésiques constitue une isométrie.
Ce cours entend exposer les fondements de la géométrie à un triple titre :
1/ de technique mathématique essentielle au processus de conception du projet,
2/ d'objet privilégié des logiciels de concept
Ce cours est une introduction à la géométrie différentielle classique des courbes et des surfaces, principalement dans le plan et l'espace euclidien.
L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux du sujet.
Let R be a semilocal principal ideal domain. Two algebraic objects over R in which scalar extension makes sense (e.g. quadratic spaces) are said to be of the same genus if they become isomorphic after extending scalars to all completions of R and its fract ...
We establish new results on the weak containment of quasi-regular and Koopman representations of a second countable locally compact group GG associated with nonsingular GG-spaces. We deduce that any two boundary representations of a hyperbolic locally ...
We prove a version of Myers-Steenrod's theorem for Finsler manifolds under the minimal regularity hypothesis. In particular we show that an isometry between C-k,C-alpha-smooth (or partially smooth) Finsler metrics, with k + alpha > 0, k is an element of N ...