Plan affine

En géométrie le concept de plan affine a été inventé pour pouvoir parler de droites parallèles sans s'encombrer de notions métriques telles que la distance entre deux points ou l'angle entre deux droites. L'approche axiomatique ne présuppose pas la notion d'espace vectoriel, de plan vectoriel en l'occurrence, ni celle de corps commutatif. Cependant ces deux dernières notions sont sous-jacentes (voir plan affine de Desargues). Un plan affine vérifie les axiomes Il existe au moins 2 points. Chaque droite possède au moins 3 points. Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente. Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite. Étant donné une droite g et un point P non incident à g, il existe une et une seule droite h qui soit incidente à P et qui n'ait pas de point commun avec g. Vocabulaire: les droites g et h sont dans ce cas dites strictement parallèles. Une droite est simplement parallèle avec elle-même, elle n'est pas strictement parallèle avec elle-même. Si deux droites sont simplement parallèles on dit qu'elles ont la même direction. Axiome de Pappus affine : Si les points A, E, C sont alignés, si les points B, D, F sont alignés sur une autre droite, si (AB)//(DE) et si (BC)//(EF) alors (FA)//(CD). Le parallélisme simple entre deux droites est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive). Le parallélisme strict ne l'est pas, il manque la réflexivité. L'ensemble-quotient des droites par la relation de parallélisme-simple s'appelle l'ensemble des directions du plan affine. Définition affine du parallélogramme : un parallélogramme général est la figure formée par deux paires de droites simplement parallèles. Un parallélogramme strict est un polygone formé par deux paires de droites strictement parallèles, chaque paire n'ayant pas la même direction. Un parallélogramme aplati est formé d'une paire de droites strictement parallèles et d'une paire de droites confondues. Un parallélogramme-point est formé de deux paires de droites confondues.