EPFL Logo
fr|en
Se Connecter
Concept

Produit tensoriel

En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires. Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, en analyse fonctionnelle et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique). Théorème et définition. Soient et deux espaces vectoriels sur un corps commutatif . Il existe un espace vectoriel, noté , et une application bilinéaire (on pose ) ayant la propriété suivante (dite universelle) : pour tout espace vectoriel sur le même corps , et pour toute application bilinéaire de dans , il existe une et une seule application linéaire de dans telle que ou encore De plus, un tel couple est unique à un isomorphisme près. L'espace est le produit tensoriel de et , et est le produit tensoriel de et . Parfois il est important de préciser le corps dans la notation du produit tensoriel, on écrit alors . Si et sont respectivement des bases de et , alors est une base de . En particulier, si et sont de dimension finie, Techniquement, le théorème d'existence et d'unicité est un garde-fou qui permet de se contenter du point de vue des bases. On peut réitérer l'opération. Le produit tensoriel est associatif : il existe un isomorphisme naturel (c'est-à-dire ne dépendant pas du choix de bases) entre et . Cet isomorphisme envoie sur . De même, les espaces et sont isomorphes. Mais attention : si E = F, l'application bilinéaire n'est pas symétrique. Bien plus, si x et y ne sont pas colinéaires, on a : Une situation très fréquente, notamment en géométrie différentielle, est celle où l'on considère des produits tensoriels d'un certain nombre d'exemplaires de E et de son dual. On dit qu'un élément de est un tenseur p-contravariant et q-covariant, ou plus brièvement un tenseur de type (p,q). L'espace est aussi noté Attention. Les géomètres appellent "covariant" ce que les algébristes appellent "contravariant" et vice-versa. Heureusement, tout le monde est d'accord sur l'appellation type (p,q). Soient des espaces vectoriels, et des applications linéaires.

Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Cours associés (32)
MATH-311: Algebra IV - rings and modules
Ring and module theory with a major emphasis on commutative algebra and a minor emphasis on homological algebra.
PHYS-101(a): General physics : mechanics
Le but du cours de physique générale est de donner à l'étudiant les notions de base nécessaires à la compréhension des phénomènes physiques. L'objectif est atteint lorsque l'étudiant est capable de pr
CS-526: Learning theory
Machine learning and data analysis are becoming increasingly central in many sciences and applications. This course concentrates on the theoretical underpinnings of machine learning.
Afficher plus
Publications associées (32)
Afficher plus
Personnes associées (1)
Concepts associés (32)
Algèbre extérieure
En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro (), on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »). L'algèbre extérieure est aussi appelée algèbre de Grassmann nommée ainsi en l'honneur de Hermann Grassmann.
Espace de Hilbert
vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
Anneau commutatif
Un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Afficher plus

Copyright © 2025 EPFL, tous droits réservés

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.