Produit tensoriel | EPFL Graph Search

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En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires. Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, en analyse fonctionnelle et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique). Théorème et définition. Soient et deux espaces vectoriels sur un corps commutatif . Il existe un espace vectoriel, noté , et une application bilinéaire (on pose ) ayant la propriété suivante (dite universelle) : pour tout espace vectoriel sur le même corps , et pour toute application bilinéaire de dans , il existe une et une seule application linéaire de dans telle que ou encore De plus, un tel couple est unique à un isomorphisme près. L'espace est le produit tensoriel de et , et est le produit tensoriel de et . Parfois il est important de préciser le corps dans la notation du produit tensoriel, on écrit alors . Si et sont respectivement des bases de et , alors est une base de . En particulier, si et sont de dimension finie, Techniquement, le théorème d'existence et d'unicité est un garde-fou qui permet de se contenter du point de vue des bases. On peut réitérer l'opération. Le produit tensoriel est associatif : il existe un isomorphisme naturel (c'est-à-dire ne dépendant pas du choix de bases) entre et . Cet isomorphisme envoie sur . De même, les espaces et sont isomorphes. Mais attention : si E = F, l'application bilinéaire n'est pas symétrique. Bien plus, si x et y ne sont pas colinéaires, on a : Une situation très fréquente, notamment en géométrie différentielle, est celle où l'on considère des produits tensoriels d'un certain nombre d'exemplaires de E et de son dual. On dit qu'un élément de est un tenseur p-contravariant et q-covariant, ou plus brièvement un tenseur de type (p,q). L'espace est aussi noté Attention. Les géomètres appellent "covariant" ce que les algébristes appellent "contravariant" et vice-versa. Heureusement, tout le monde est d'accord sur l'appellation type (p,q). Soient des espaces vectoriels, et des applications linéaires.

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Produit tensoriel

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vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.

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