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Concept
Théorème de Maschke
Résumé
En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Maschke est un des théorèmes fondamentaux de la théorie des représentations d'un groupe fini.
Ce théorème établit que si la caractéristique du corps ne divise pas l'ordre du groupe, alors toute représentation se décompose en facteurs irréductibles. Il se reformule en termes de modules sur l'algèbre d'un groupe fini et possède une généralisation partielle aux groupes compacts.
Ce théorème doit son nom au mathématicien allemand Heinrich Maschke.
Précisons le vocabulaire et les propriétés utilisés dans les trois formulations du théorème.
Une représentation (V, ρ) est dite complètement réductible si V est somme directe de sous-espaces irréductibles. En termes matriciels, cela signifie qu'il existe au moins une décomposition optimale, en somme de sous-espaces vectoriels, de l'espace vectoriel V, telle que tous les automorphismes de la représentation s'écrivent sous forme diagonale par blocs suivant cette décomposition ; l'optimalité étant choisie dans le sens qu'aucune décomposition plus fine ne conserverait la propriété d'écriture diagonale par blocs des automorphismes considérés.
Cette propriété se reformule via le dictionnaire entre les représentations d'un groupe et les G-modules, c'est-à-dire les modules sur son algèbre : une représentation est complètement réductible si et seulement si le G-module correspondant est semi-simple, c'est-à-dire somme directe de modules simples.
Un anneau A est dit semi-simple s'il est semi-simple en tant que module sur lui-même ou, ce qui est équivalent, si tous les A-modules sont semi-simples.
L'article « Groupe compact » détaille une généralisation partielle du théorème à certains groupes topologiques : les groupes compacts, grâce à l'existence d'une mesure positive finie compatible avec la loi du groupe et appelée mesure de Haar : pour un groupe compact, toute représentation continue de dimension finie sur R ou C est complètement réductible.
Le théorème voit le jour dans le contexte du développement de la théorie des représentations d'un groupe fini.
Source officielle
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