Théorème des nombres pentagonauxEn mathématiques, le théorème des nombres pentagonaux, dû au mathématicien suisse Euler, est le théorème qui établit le développement en série formelle de la fonction d'Euler : Autrement dit : Le nom du théorème vient de la forme des exposants dans le membre droit de l'égalité : ces nombres sont les nombres pentagonaux généralisés. Le théorème des nombres pentagonaux est un cas particulier de l'identité du triple produit de Jacobi. Ce théorème a une interprétation combinatoire en termes de partitions.
Srinivasa Ramanujanvignette|thumbtime=566|start=567|end=610|alt=documentaire indien en anglais|upright=1.5|Extrait de Srinivasa Ramanujan- The Mathematician & His Legacy (Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage), un documentaire produit par le Ministère des Affaires étrangères de l'Inde ; on y voit les cahiers de Ramanujan, conservés à l'université de Madras. Srinivasa Ramanujan (en tamoul : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), né le à Erode et mort le à Kumbakonam, est un mathématicien indien.
Fonction d'Eulerthumb|right|Module de dans le plan complexe, coloré de sorte que noir=0, rouge=4. En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par Elle est nommée d'après Leonhard Euler, et elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire, et elle fournit un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe. On peut écrire la définition de comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer : Le coefficient du développement en série formelle de est le nombre de partitions de l'entier .
Fonction êta de DedekindLa fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Pour un tel nombre complexe , on pose et la fonction êta est alors : , en posant . La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble. La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles et La seconde se généralise : soient des entiers tels que (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec .
Partition d'un entierEn mathématiques, une partition d'un entier (parfois aussi appelée partage d'un entier) est une décomposition de cet entier en une somme d'entiers strictement positifs (appelés parties ou sommants), à l'ordre près des termes (à la différence du problème de composition tenant compte de l'ordre des termes). Une telle partition est en général représentée par la suite des termes de la somme, rangés par ordre décroissant. Elle est visualisée à l'aide de son diagramme de Ferrers, qui met en évidence la notion de partition duale ou conjuguée.
Q-symbole de PochhammerEn combinatoire, le q-symbole de Pochhammer est un symbole permettant de noter facilement certains produits. C'est l'élément de base des q-analogues. C'est le q-analogue du symbole de Pochhammer défini par Leo Pochhammer. Le q-symbole de Pochhammer est : avec On peut étendre la notation à des produits infinis : On note parfois , lorsqu'il est clair que la variable est q. Un grand nombre de séries génératrices représentant des partitions peuvent être exprimées de façon compacte avec ces symboles.
Série de LambertEn mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur : où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de (a) avec la fonction constante 1(n) = 1 : La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple : la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératri
Rank of a partitionIn mathematics, particularly in the fields of number theory and combinatorics, the rank of a partition of a positive integer is a certain integer associated with the partition. In fact at least two different definitions of rank appear in the literature. The first definition, with which most of this article is concerned, is that the rank of a partition is the number obtained by subtracting the number of parts in the partition from the largest part in the partition.
Nombre pentagonalEn mathématiques, un nombre pentagonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un pentagone. Pour tout entier n ≥ 1, d'après les formules générales pour les nombres polygonaux, le n-ième nombre pentagonal est donc la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3 : soit le tiers du (3n – 1)-ième nombre triangulaire et les dix premiers sont 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117 et 145 ().
Série génératriceEn mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite de nombres (ou plus généralement de polynômes) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire.
