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Concept
Représentations du groupe symétrique
Résumé
En mathématiques les représentations du groupe symétrique sont un exemple d'application de la théorie des représentations d'un groupe fini. L'analyse de ces représentations est une illustration des concepts comme le théorème de Maschke, les caractères, la représentation régulière, les représentations induites et la réciprocité de Frobenius.
L'histoire des représentations du groupe symétrique et du groupe alterné associés, joue un rôle particulier pour la théorie des caractères. est le mois de naissance généralement considéré de cette théorie. Inspiré par une intense correspondance avec Dedekind qui avait calculé les représentations de S et du groupe des quaternions, Frobenius analyse les représentations des groupes S et S et présente les fondements qu'il développe pendant les années à venir.
Si les méthodes sont différentes de celles maintenant utilisées – Frobenius adopte en effet comme outil essentiel l'idée de Dedekind des tombés maintenant en désuétude – les bases de la théorie sont esquissées. Elle se développe rapidement ; Heinrich Maschke démontre le théorème portant maintenant son nom trois ans plus tard. En 1911, William Burnside publie la seconde édition du livre encore de référence contenant toutes les techniques utilisées dans cet article.
Les représentations d'un groupe fini G (sur un espace vectoriel complexe de dimension finie) possèdent une propriété simplifiant largement leur analyse, elles sont toutes sommes directes de représentations irréductibles. De plus, cette décomposition d'une représentation se « lit » sur son caractère, qui est l'application associant à tout élément de G la trace de son image par la représentation. En effet :
le caractère d'une somme directe de représentations est la somme de leurs caractères ;
tout caractère est une fonction centrale, c'est-à-dire une application (de G dans l'ensemble des nombres complexes) constante sur chaque classe de conjugaison ;
pour le produit hermitien suivant, la famille des caractères irréductibles est une base orthonormale de l'espace de ces fonctions centrales :
En résumé :
le degré d'une représentation (i.
Source officielle
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