Théorie de HodgeLa théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge.
Ddbar lemmaIn complex geometry, the lemma (pronounced ddbar lemma) is a mathematical lemma about the de Rham cohomology class of a complex differential form. The -lemma is a result of Hodge theory and the Kähler identities on a compact Kähler manifold. Sometimes it is also known as the -lemma, due to the use of a related operator , with the relation between the two operators being and so .
Complex differential formIn mathematics, a complex differential form is a differential form on a manifold (usually a complex manifold) which is permitted to have complex coefficients. Complex forms have broad applications in differential geometry. On complex manifolds, they are fundamental and serve as the basis for much of algebraic geometry, Kähler geometry, and Hodge theory. Over non-complex manifolds, they also play a role in the study of almost complex structures, the theory of spinors, and CR structures.
Holomorphic vector bundleIn mathematics, a holomorphic vector bundle is a complex vector bundle over a complex manifold X such that the total space E is a complex manifold and the projection map π : E → X is holomorphic. Fundamental examples are the holomorphic tangent bundle of a complex manifold, and its dual, the holomorphic cotangent bundle. A holomorphic line bundle is a rank one holomorphic vector bundle. By Serre's GAGA, the category of holomorphic vector bundles on a smooth complex projective variety X (viewed as a complex manifold) is equivalent to the category of algebraic vector bundles (i.
Variété kählérienneEn mathématiques, une variété kählérienne ou variété de Kähler est une variété différentielle équipée d'une structure unitaire satisfaisant une condition d'intégrabilité. C'est en particulier une variété riemannienne, une variété symplectique et une variété complexe, ces trois structures étant mutuellement compatibles. Les variétés kählériennes sont un objet d'étude naturel en géométrie différentielle complexe. Elles doivent leur nom au mathématicien Erich Kähler. Plusieurs définitions équivalentes existent.
Kähler identitiesIn complex geometry, the Kähler identities are a collection of identities between operators on a Kähler manifold relating the Dolbeault operators and their adjoints, contraction and wedge operators of the Kähler form, and the Laplacians of the Kähler metric. The Kähler identities combine with results of Hodge theory to produce a number of relations on de Rham and Dolbeault cohomology of compact Kähler manifolds, such as the Lefschetz hyperplane theorem, the hard Lefschetz theorem, the Hodge-Riemann bilinear relations, and the Hodge index theorem.
Dualité de SerreEn géométrie algébrique, la dualité de Serre est une dualité pour la cohomologie cohérente de variétés algébriques, démontrée par Jean-Pierre Serre. La version originale s'applique aux fibrés vectoriels sur une variété projective lisse, mais Alexander Grothendieck la généralise largement. Sur une variété de dimension n, le théorème énonce l'isomorphisme d'un groupe de cohomologie avec l'espace dual d'un autre, le . La dualité de Serre est l'analogue pour la cohomologie cohérente de la dualité de Poincaré en topologie.
Fonction de plusieurs variables complexesLa théorie des fonctions de plusieurs variables complexes est une branche des mathématiques traitant des fonctions à variables complexes. On définit de cette manière une fonction de Cn dans C, dont on peut noter les variables . L'analyse complexe correspond au cas . H. Cartan: Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris, 1961. C. Laurent-Thiébaut : Théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables. EDP Sciences, 1997. V.S.
Cohomologie des faisceauxLes groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines. Les groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines : où est une résolution injective du faisceau , et désigne le groupe abélien des sections globales de . A unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie. Le zéroième groupe est canoniquement isomorphe à .
