Nombre abondant

En mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel non nul qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts ; autrement dit, c'est un entier n strictement positif tel que : où est la somme des entiers positifs diviseurs de n, cette fois. Exemples : Prenons le nombre 10 : Les diviseurs de 10 sont 1, 2, et 5. La somme 1 + 2 + 5 donne 8. Or 8 est inférieur à 10. Conclusion : 10 n'est donc pas un nombre abondant. Prenons le nombre 12 : Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, et 6. La somme 1 + 2 + 3 + 4 + 6 donne 16. Et 16 est supérieur à 12. Conclusion : 12 est donc un nombre abondant. Les premiers nombres abondants sont : 12, 18, 20, 24, 30, 36, ... (voir ). La valeur est appelée abondance de n. Les nombres dont l'abondance est nulle sont les nombres parfaits, et les nombres dont l'abondance est strictement négative les nombres déficients. Un nombre abondant dont l'abondance est égale à 1 est appelé quasi parfait, mais on ne sait pas à l'heure actuelle s'il en existe. Par contre, on remarquera que 20 a une abondance égale à 2. Tout multiple strict d'un nombre parfait ou abondant est abondant. Il existe donc une infinité de nombres abondants, à commencer par les multiples stricts de 6. Les nombres abondants ont été introduits vers 130 de notre ère par Nicomaque de Gérase dans son Introduction à l'arithmétique. Un nombre abondant est dit primitif s'il n'est pas multiple strict d'un nombre abondant ; alors qu'on ne sait pas à l'heure actuelle s'il existe une infinité de nombres parfaits, on sait trouver une infinité de nombres abondants primitifs, comme les nombres de la forme où est un nombre premier impair qui n'est pas un nombre de Mersenne et la plus grande puissance de 2 inférieure à (lorsque est un nombre de Mersenne premier, est parfait). Le premier nombre abondant impair (et primitif) est ; alors qu'on n'a jamais trouvé de nombre parfait impair (mais qu'on n'a jamais démontré qu'il n'y en avait pas), on sait qu'il existe une infinité de nombres abondants primitifs impairs (voir qui possède comme sous-suite infinie privée de son premier terme).

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