Nombre déficientvignette|Diagramme en bâtons de la somme des diviseurs propres de en fonction de , pour variant de 1 à 40. Les nombres déficients (gris) sont ceux pour lesquels le bâton reste sous la première diagonale. En mathématiques, un nombre déficient est un nombre entier naturel n qui est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que où est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n. La valeur est appelée déficience de n.
Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseursEn mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque : La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers et n premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1.
Aliquot sumIn number theory, the aliquot sum s(n) of a positive integer n is the sum of all proper divisors of n, that is, all divisors of n other than n itself. That is, It can be used to characterize the prime numbers, perfect numbers, sociable numbers, deficient numbers, abundant numbers, and untouchable numbers, and to define the aliquot sequence of a number. For example, the proper divisors of 12 (that is, the positive divisors of 12 that are not equal to 12) are 1, 2, 3, 4, and 6, so the aliquot sum of 12 is 16 i.
Nombre semi-parfaitvignette|6 est un nombre semi-parfait, car il est égal à la somme de 1, 2 et 3 qui sont tous des diviseurs stricts de 6. En mathématiques, un nombre semi-parfait ou nombre pseudoparfait est un entier naturel n qui est égal à la somme de certains ou de tous ses diviseurs stricts. Les premiers nombres semi-parfaits sont 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40... () ; chaque multiple d'un nombre semi-parfait est semi-parfait, et chaque nombre de la forme 2p pour un entier naturel m et un nombre premier p tels que p < 2 est aussi semi-parfait.
Nombre étrangeUn nombre étrange est, en mathématiques, un entier naturel n qui est abondant mais non semi-parfait : la somme de ses diviseurs propres (y compris 1 mais pas n) est plus grande que n mais aucune somme de certains de ses diviseurs n'est égale à n. Le plus petit nombre étrange est 70. Ses diviseurs propres sont 1, 2, 5, 7, 10, 14 et 35. Leur somme vaut 74 mais aucune somme de certains de ses diviseurs ne donne 70. Il existe une infinité de nombres étranges, car le produit d'un tel nombre avec un nombre premier assez grand est encore étrange.
Nombre parfaitEn arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la . Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au , a démontré que si M = 2 − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2(2 – 1) est parfait.
DiviseurLe mot “diviseur” a deux significations en mathématiques. Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende. En arithmétique, un “diviseur” d'un entier n est un entier dont n est un multiple. Plus formellement, si d et n sont deux entiers, d est un diviseur de n seulement s'il existe un entier k tel que . Ainsi est un diviseur de car .
