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Concept
Continuité uniforme
Résumé
En topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme.
Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques.
N.B. : la continuité « simple » de s'écrit par comparaison :
De même que pour la continuité « simple » ou la limite d'une fonction en un point, on obtient une définition équivalente de la continuité uniforme lorsqu'on remplace ci-dessus l'une des deux inégalités larges, ou les deux, par une inégalité stricte.
Le terme uniforme signifie que le choix de en fonction de ne dépend pas du point considéré, il est uniforme sur .
Si les espaces de départ et d'arrivée de la fonction sont des intervalles de l'ensemble des nombres réels munis de la norme valeur absolue, la définition s'écrit :
La fonction racine carrée, de R dans R, est uniformément continue.
La fonction carré, de R dans R, n'est pas uniformément continue.
Remarque : la fonction racine carrée est 1/2-höldérienne. Plus généralement, pour 0 < a ≤ 1, toute application a-höldérienne entre espaces métriques est uniformément continue.
Toute fonction k-lipschitzienne (donc 1-höldérienne) est uniformément continue : il suffit de choisir tel que .
En particulier, toute fonction dérivable d'un intervalle réel dans R et de dérivée bornée est uniformément continue.
Une application entre deux espaces métriques est dite Cauchy-continue si elle transforme toute suite de Cauchy en une suite de Cauchy. Cette notion de continuité est strictement intermédiaire entre la continuité simple et la continuité uniforme.
Toute application Cauchy-continue sur une partie A de E et à valeurs dans un espace complet s'étend continûment (de façon évidemment unique) à l'adhérence de A dans E.
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