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Concept
Groupe topologique
Résumé
En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues.
L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique.
Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul :
Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.
Sur tout groupe topologique localement compact, il existe une et une seule mesure de Borel quasi-régulière non nulle (à coefficient multiplicateur près) invariante par les translations à gauche (x ↦ y∗x) : la mesure de Haar.
Le cercle S, qui peut être considéré comme le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 ou comme le groupe des rotations de centre fixé dans un plan euclidien. Tout sous-groupe de S est soit fini soit dense.
Un groupe discret (groupe muni de la topologie discrète).
Tout groupe produit (muni de la topologie produit) d'une famille de groupes topologiques. Par exemple (l'espace de Cantor, muni de sa structure naturelle de groupe produit).
Dans un groupe topologique, les translationssont des homéomorphismes.
La topologie est déterminée par la donnée des voisinages de l'élément neutre e.
Un groupe topologique G est séparé si et seulement si le singleton {e} est fermé dans G. Également, G est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de e est réduite à {e}.
Si U est un ouvert et A une partie quelconque alors U∗A est un ouvert (puisqu'il s'écrit ) et de même, A∗U est un ouvert.
Tout groupe quotient G/H d'un groupe topologique G par un sous-groupe normal H est encore un groupe topologique, lorsque G/H est muni de la topologie quotient. De plus, G/H est séparé si et seulement si H est fermé.
Un groupe topologique est naturellement muni de deux structures uniformes (à droite et à gauche) qui induisent sa topologie, et qui coïncident si le groupe est commutatif.
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