Concept
Groupe modulaire
Concepts associés (38)
Forme modulaire
En mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.
Courbe modulaire
En théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes Γ d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(Γ). On appelle Γ le niveau de la courbe Y(Γ). Depuis Gorō Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau Γ.
Icosahedral symmetry
In mathematics, and especially in geometry, an object has icosahedral symmetry if it has the same symmetries as a regular icosahedron. Examples of other polyhedra with icosahedral symmetry include the regular dodecahedron (the dual of the icosahedron) and the rhombic triacontahedron. Every polyhedron with icosahedral symmetry has 60 rotational (or orientation-preserving) symmetries and 60 orientation-reversing symmetries (that combine a rotation and a reflection), for a total symmetry order of 120.
Projective linear group
In mathematics, especially in the group theoretic area of algebra, the projective linear group (also known as the projective general linear group or PGL) is the induced action of the general linear group of a vector space V on the associated projective space P(V). Explicitly, the projective linear group is the quotient group PGL(V) = GL(V)/Z(V) where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V; these are quotiented out because they act trivially on the projective space and they form the kernel of the action, and the notation "Z" reflects that the scalar transformations form the center of the general linear group.
Fonction elliptique
vignette|Fonctions elliptiques lemniscates et ellipse. En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une fonction elliptique est, grossièrement parlant, une fonction définie sur le plan complexe qui est doublement périodique (périodique dans deux directions). Elle peut être vue comme analogue à une fonction trigonométrique (qui a une seule période).
Transformation de Möbius
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de noté , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.
Upper half-plane
In mathematics, the upper half-plane, is the set of points in the Cartesian plane with The lower half-plane is defined similarly, by requiring that be negative instead. Each is an example of two-dimensional half-space. The affine transformations of the upper half-plane include shifts , , and dilations , . Proposition: Let and be semicircles in the upper half-plane with centers on the boundary. Then there is an affine mapping that takes to . Proof: First shift the center of to . Then take and dilate.
Demi-plan de Poincaré
Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski. Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique. On considère le demi-plan supérieur : On munit le demi-plan supérieur de la métrique : Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative : On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.
Domaine fondamental
Given a topological space and a group acting on it, the images of a single point under the group action form an orbit of the action. A fundamental domain or fundamental region is a subset of the space which contains exactly one point from each of these orbits. It serves as a geometric realization for the abstract set of representatives of the orbits. There are many ways to choose a fundamental domain. Typically, a fundamental domain is required to be a connected subset with some restrictions on its boundary, for example, smooth or polyhedral.
Kleinian group
In mathematics, a Kleinian group is a discrete subgroup of the group of orientation-preserving isometries of hyperbolic 3-space H3. The latter, identifiable with PSL(2, C), is the quotient group of the 2 by 2 complex matrices of determinant 1 by their center, which consists of the identity matrix and its product by −1. PSL(2, C) has a natural representation as orientation-preserving conformal transformations of the Riemann sphere, and as orientation-preserving conformal transformations of the open unit ball B3 in R3.