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Concept
Courbe modulaire
Résumé
En théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes Γ d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(Γ). On appelle Γ le niveau de la courbe Y(Γ). Depuis Gorō Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau Γ.
Cette courbe n'est jamais compacte. Pour obtenir une courbe compacte, il est nécessaire d'adjoindre à Y(Γ) des points « situés à l'infini ». Il est possible d'obtenir une compactification lisse de Y(Γ) en n'adjoignant qu'un nombre fini de points. La courbe projective obtenue est généralement notée X(Γ), et on appelle pointes paraboliques les points ainsi ajoutés. Il est fréquent, en fonction du contexte, d'appeler courbe modulaire la courbe X(Γ) plutôt que Y(Γ).
Les points de la courbe modulaire Y(Γ) paramètrent les classes d'isomorphismes de courbes elliptiques munies d'une structure additionnelle dépendant du groupe Γ. Cela permet de donner une définition alternative des courbes modulaires comme espaces de modules. Cette approche a l'avantage de donner une définition purement algébrique des courbes modulaires. Elle permet également de retrouver les modèles construits par Shimura, voire de construire des modèles en termes de nombres entiers. Cette construction ouvrit la voie à de nombreuses applications arithmétiques des courbes modulaires.
Le groupe modulaire Γ(1) agit sur le demi-plan de Poincaré par homographies. Pour tout entier N ≥ 1, on note Γ(N), et on appelle N-ième sous-groupe principal de congruence le sous-groupe de Γ(1) formé des classes de matrices congrues modulo N à la matrice identité. La notation est cohérente dans le cas où N = 1. On appelle un sous-groupe de Γ(1) qui contient le sous-groupe Γ(N) pour au moins un entier N. Ce sont les sous-groupes que l'on peut construire en imposant un nombre fini de relations de congruences aux coefficients matriciels.
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