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Concept
Forme modulaire
Résumé
En mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.
Au niveau le plus simple, une forme modulaire peut être pensée comme une fonction F de l'ensemble des réseaux Λ dans C, vers l'ensemble des nombres complexes, qui satisfait les conditions suivantes :
si nous considérons le réseau Λ = 〈α, z〉 engendré par une constante α et une variable z, alors F(Λ) est une fonction analytique de z ;
si α est un nombre complexe différent de zéro et αΛ est le réseau obtenu en multipliant chaque élément de Λ par α, alors F(αΛ) = αF(Λ) où k est une constante (généralement un entier positif) appelé le poids de la forme ;
la valeur absolue de F(Λ) reste bornée inférieurement tant que la valeur absolue du plus petit élément différent de zéro dans Λ est loin de 0.
Lorsque k = 0, la condition 2 dit que F dépend seulement de la classe de similitude du réseau. Ceci est un cas particulier très important, mais les seules formes modulaires de poids 0 sont les constantes. Si nous éliminons la condition 3 et permettons à la fonction d'avoir des pôles, alors les exemples de poids 0 existent : elles sont appelées fonctions modulaires. La situation peut être comparée avec profit à ce qui arrive dans la recherche de fonctions de l'espace projectif P(V). Avec ces paramètres, on souhaiterait idéalement des fonctions F sur l'espace vectoriel V qui soient polynomiales en les coordonnées d'un vecteur non nul v de V et qui satisfont à l'équation F(cv) = F(v) pour tout c différent de zéro. Malheureusement, les seules fonctions de cette sorte sont les constantes. Si nous permettons les fonctions rationnelles à la place des polynômes, nous pouvons laisser F être le rapport de deux polynômes homogènes de même degré.
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