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Concept
Surface de révolution
Résumé
En mathématiques, une surface de révolution est une surface de R, invariante par rotation autour d'un axe fixe. Une surface balayée par la rotation d'une courbe quelconque autour d'un axe fixe est une surface de révolution. Son intersection avec un plan contenant l'axe s'appelle une méridienne. Son intersection avec un plan perpendiculaire à l'axe est formée de cercles appelés parallèles. Les surfaces de révolution comprennent les sphères, les tores, cylindre de révolution, ellipsoïde de révolution et hyperboloïdes de révolution, les ovoïdes, etc.
Dans un espace affine eucliden de dimension 3, on dit qu'une surface (S) admet une droite (D) comme axe de rotation si elle est globablement invariante par rotation autour de (D). On dit alors que la surface est une surface de révolution d'axe (D)
Pour tout point M de la surface de révolution, le cercle d'axe (D) passant par M est inclus dans (S). Ce cercle est appelé le parallèle de (S) passant par M.
Tout plan contenant l'axe de rotation est appelé un plan méridien. L'intersection de la surface de révolution par un plan méridien est une méridienne. L'intersection de la surface (S) par un demi-plan de frontière (D) est une demi-méridienne. Une surface de révolution est entièrement déterminée par son axe de révolution et une demi-méridienne.
Une partie (C) de (S) est appelée directrice de (S) si son intersection avec tout parallèle de (S) est non vide. Une directrice engendre la surface (S) par rotation. Une demi-méridienne est un cas particulier de directrice.
L'exemple le plus simple d'une courbe tracée dans l'espace est celui d'une droite affine où l'on peut supposer unitaire. On suppose cette droite distincte de l'axe (Oz).
Si est orthogonal à , la surface obtenue est le plan passant par c(0) et parallèle au plan (xOy).
Si est colinéaire à , la surface obtenue est un cylindre de révolution d'axe Oz.
Si n'est ni orthogonal ni colinéaire à , mais que , et sont des vecteurs coplanaires, alors la surface engendrée est un cône de révolution d'axe et de demi-angle au sommet .
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