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Concept

Formulation faible

En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible. L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev. Il est possible de prouver que certaines formulations faibles sont bien posées à l'aide du théorème de Lax-Milgram. La méthode des éléments finis est quant à elle une façon d'approcher numériquement des solutions faibles. Une formulation faible des équations aux dérivées partielles qui s’exprime en termes d'algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert est une formulation variationnelle. À l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l'existence et de

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On the energy dissipation rate of solutions to the compressible isentropic Euler system

Elisabetta Chiodaroli

In this paper we extend and complement the results in [4] on the well-posedness issue for weak solutions of the compressible isentropic Euler system in 2 space dimensions with pressure law

p(\rho) = \rho^\gamme, \geq 1

. First we show that every Riemann problem whose one dimensional self-similar solution consists of two shocks admits also in_nitely many two dimensional admissible bounded weak solutions (not containing vacuum) generated by the method of De Lellis and

Sz\’{e}kelyhidi

[11], [12]. Moreover we prove that for some of these Riemann problems and for

1\leq < 3

such solutions have greater energy dissipation rate than the self-similar solution emanating from the same Riemann data. We therefore show that the maximal dissipation criterion proposed by Dafermos in [7] does not favour the classical self similar solutions.

Springer Verlag2014

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$A$-free Rigidity and Applications to the Compressible Euler System

Elisabetta Chiodaroli

Can every measure-valued solution to the compressible Euler equations be approximated by a sequence of weak solutions? We prove that the answer is negative: Generalizing a well-known rigidity result of Ball and James to a more general situation, we construct an explicit measure-valued solution for the compressible Euler equations which can not be generated by a sequence of distributional solutions. We also give an abstract necessary condition for measure-valued solutions to be generated by weak solutions, relying on work of Fonseca and Müller. This difference between weak and measure-valued solutions in the compressible case is in contrast with the incompressible situation, where every measure-valued solution can be approximated by weak solutions, as shown by Székelyhidi and Wiedemann.

2017

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A-free rigidity and applications to the compressible Euler system

Elisabetta Chiodaroli

Can every measure-valued solution to the compressible Euler equations be approximated by a sequence of weak solutions? We prove that the answer is negative: generalizing a well-known rigidity result of Ball and James to a more general situation, we construct an explicit measure-valued solution for the compressible Euler equations which cannot be generated by a sequence of distributional solutions. We also give an abstract necessary condition for measure-valued solutions to be generated by weak solutions, relying on work of Fonseca and Muller. While a priori it is not unexpected that not every measure-valued solution arises from a sequence of weak solutions, it is noteworthy that this observation in the compressible case is in contrast to the incompressible situation, where every measure-valued solution can be approximated by weak solutions, as shown by Szekelyhidi and Wiedemann.

Springer Verlag2017

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ME-372: Finite element method

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