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Concept
Mesure de Jordan
Résumé
En mathématiques, la mesure de Peano-Jordan est une extension de la notion de taille (longueur, aire, volume), aisément définie pour des domaines simples tels que le rectangle ou le parallélépipède, à des formes plus compliquées.
La mesure de Jordan s'avère trop restrictive pour certains ensembles qu'on pourrait souhaiter être mesurables. Pour cette raison, il est maintenant plus fréquent de travailler avec la mesure de Lebesgue, qui est une extension de la mesure de Jordan à une plus grande classe d'ensembles. Historiquement, la mesure de Jordan, introduite vers la fin du , est antérieure.
La mesure de Peano-Jordan tire son nom de ses concepteurs, le mathématicien français Camille Jordan et le mathématicien italien Giuseppe Peano.
Un pavé est la généralisation en dimension n d'un parallélépipède rectangle.
Dans l'espace euclidien Rn, un pavé fermé est un produit P = I × ... × I de n segments I = [a, b]. Son volume est le produit (éventuellement nul) des longueurs b – a de ces segments. Son intérieur est le pavé ouvert produit des intervalles ouverts bornés ]a, b[.
Une partie pavable est une réunion finie X de pavés fermés P. On peut alors toujours redécouper X de telle façon que les P soient d'intérieurs disjoints, et l'on vérifie qu'ainsi, la somme de leurs volumes ne dépend pas du découpage choisi — d'ailleurs, plus généralement, l'intégrale d'une fonction en escalier sur Rn ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie. On note vol(X) cette somme, qu'on appelle le volume (ou la mesure de Jordan) de X.
Le paragraphe précédent permet de reformuler géométriquement cette définition : pour toute partie bornée X de R, on définit les mesures intérieure et extérieure de Jordan de X, λ(X) et λ(X), respectivement, comme la borne supérieure des volumes de parties pavables incluses dans X et la borne inférieure des volumes de parties pavables contenant X, et l'on démontre qu'elles sont égales aux intégrales inférieure et supérieure de l'indicatrice de X. Par conséquent, X est cubable si et seulement si λ(X) = λ(X), et cette valeur commune est alors égale au volume de X.
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