Nombre de Betti

En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, les nombres de Betti sont des invariants topologiques, c'est-à-dire qu'ils aident à distinguer différents espaces topologiques. Ils forment une suite dont chaque terme est un entier naturel ou +∞. Pour les espaces « raisonnables » comme les variétés compactes et les complexes simpliciaux ou CW-complexes finis, ils sont tous finis, et nuls à partir d'un certain rang (au-delà de la dimension de l'espace). Henri Poincaré les a nommés ainsi en l'honneur d'Enrico Betti. vignette|upright=0.5|alt=Un tore|Un tore a une composante connexe, deux trous circulaires (les deux cercles générateurs) et une 2-cellule (le « tube » lui-même), ce qui donne les nombres de Betti 1, 2 et 1. Informellement, le k-ième nombre de Betti correspond au . Les premiers nombres de Betti sont définis intuitivement par : b est le nombre de composantes connexes ; b est le nombre de courbes fermées indépendantes ; b est le nombre de surfaces indépendantes. Supposons une galette dans laquelle on a percé n trous disjoints, de manière suffisamment régulière pour qu'on puisse considérer que ce qu'on a obtenu est une variété de dimension . Cette variété est connexe, donc . Le nombre de courbes fermées indépendantes est 2n. Enfin, , comme on le voit directement, ou par le théorème de dualité de Poincaré, suivant lequel . Ce théorème implique que le nombre de Betti b est toujours pair en dimension , et est le genre de la variété. Dans l'exemple considéré, g est le nombre n de trous qu'on a percés. Un bretzel (à condition de l'idéaliser) illustre ce propos. Image:Pretzel.jpg|Bretzel - nombres de Betti : {{Nobr|1=''b''{{ind|0}} = 1}}, {{Nobr|1=''b''{{ind|1}} = 6}}, {{Nobr|1=''b''{{ind|2}} = 1}} - genre : {{Nobr|1=''g'' = 3}}. Pour tout entier naturel k, le k-ième nombre de Betti b(X) d'un espace topologique X est le de son k-ième groupe d'homologie, H(X) = Ker(∂)/Im(∂), c'est-à-dire la dimension (entière ou infinie) du Q-espace vectoriel H(X) ⊗ Q.