Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Nombre de Betti
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, les nombres de Betti sont des invariants topologiques, c'est-à-dire qu'ils aident à distinguer différents espaces topologiques. Ils forment une suite dont chaque terme est un entier naturel ou +∞. Pour les espaces « raisonnables » comme les variétés compactes et les complexes simpliciaux ou CW-complexes finis, ils sont tous finis, et nuls à partir d'un certain rang (au-delà de la dimension de l'espace).
Henri Poincaré les a nommés ainsi en l'honneur d'Enrico Betti.
vignette|upright=0.5|alt=Un tore|Un tore a une composante connexe, deux trous circulaires (les deux cercles générateurs) et une 2-cellule (le « tube » lui-même), ce qui donne les nombres de Betti 1, 2 et 1.
Informellement, le k-ième nombre de Betti correspond au . Les premiers nombres de Betti sont définis intuitivement par :
b est le nombre de composantes connexes ;
b est le nombre de courbes fermées indépendantes ;
b est le nombre de surfaces indépendantes.
Supposons une galette dans laquelle on a percé n trous disjoints, de manière suffisamment régulière pour qu'on puisse considérer que ce qu'on a obtenu est une variété de dimension . Cette variété est connexe, donc . Le nombre de courbes fermées indépendantes est 2n. Enfin, , comme on le voit directement, ou par le théorème de dualité de Poincaré, suivant lequel . Ce théorème implique que le nombre de Betti b est toujours pair en dimension , et est le genre de la variété. Dans l'exemple considéré, g est le nombre n de trous qu'on a percés. Un bretzel (à condition de l'idéaliser) illustre ce propos.
Image:Pretzel.jpg|Bretzel - nombres de Betti : {{Nobr|1=''b''{{ind|0}} = 1}}, {{Nobr|1=''b''{{ind|1}} = 6}}, {{Nobr|1=''b''{{ind|2}} = 1}} - genre : {{Nobr|1=''g'' = 3}}.
Pour tout entier naturel k, le k-ième nombre de Betti b(X) d'un espace topologique X est le de son k-ième groupe d'homologie, H(X) = Ker(∂)/Im(∂), c'est-à-dire la dimension (entière ou infinie) du Q-espace vectoriel H(X) ⊗ Q.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.