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Concept
Dualité de Poincaré
Résumé
En mathématiques, le théorème de de Poincaré est un résultat de base sur la structure des groupes d'homologie et cohomologie des variétés, selon lequel, si M est une variété « fermée » (i.e. compacte et sans bord) orientée de dimension n, le k-ième groupe de cohomologie de M est isomorphe à son (n – k)-ième groupe d'homologie, pour tout entier naturel k ≤ n :
La dualité de Poincaré a lieu quel que soit l'anneau de coefficients, dès qu'on a choisi une orientation relativement à cet anneau ; en particulier, puisque toute variété a une unique orientation mod 2, la dualité est vraie mod 2 sans hypothèse d'orientation.
Une forme de dualité de Poincaré a d'abord été énoncée sans démonstration par Henri Poincaré en 1893, par rapport aux nombres de Betti : les k-ième et (n – k)-ième nombres de Betti d'une n-variété fermée orientable sont égaux. La notion de cohomologie ne serait clarifiée qu'environ 40 ans plus tard. Dans son article Analysis Situs de 1895, Poincaré essaya de démontrer le théorème en utilisant la théorie topologique de l', qu'il avait inventée. La critique de son travail par Poul Heegaard le fit réaliser que sa preuve était irrémédiablement fausse. Dans les deux premiers compléments d'Analysis Situs, Poincaré donna une autre démonstration, en matière de triangulations duales.
La dualité de Poincaré ne prit sa forme moderne qu'à la naissance de la cohomologie, dans les années 1930, lorsqu'Eduard Čech et Hassler Whitney inventèrent les cup- et cap-produits et formulèrent cette dualité en ces termes nouveaux.
L'énoncé moderne du théorème de dualité de Poincaré est en termes d'homologie et de cohomologie : si M est une n-variété fermée orientée alors, pour tout entier k, il existe un isomorphisme canonique de son k-ième groupe de cohomologie H(M) dans son (n – k)-ième groupe d'homologie H(M). (Ici, l'homologie et la cohomologie sont prises à coefficients dans l'anneau des entiers, mais le même théorème vaut pour tout anneau de coefficients.) Cet isomorphisme est l'application de cap-produit par la de M correspondant à l'orientation.
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