In mathematics, an axiom of countability is a property of certain mathematical objects that asserts the existence of a countable set with certain properties. Without such an axiom, such a set might not provably exist.
Important countability axioms for topological spaces include:
sequential space: a set is open if every sequence convergent to a point in the set is eventually in the set
first-countable space: every point has a countable neighbourhood basis (local base)
second-countable space: the topology has a countable base
separable space: there exists a countable dense subset
Lindelöf space: every open cover has a countable subcover
σ-compact space: there exists a countable cover by compact spaces
These axioms are related to each other in the following ways:
Every first-countable space is sequential.
Every second-countable space is first countable, separable, and Lindelöf.
Every σ-compact space is Lindelöf.
Every metric space is first countable.
For metric spaces, second-countability, separability, and the Lindelöf property are all equivalent.
Other examples of mathematical objects obeying axioms of countability include sigma-finite measure spaces, and lattices of countable type.
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En mathématiques, un espace topologique X est à bases dénombrables de voisinages si tout point x de X possède une base de voisinages dénombrable, c'est-à-dire s'il existe une suite V, V, V, ... de voisinages de x telle que tout voisinage de x contienne l'un des V. Cette notion a été introduite en 1914 par Felix Hausdorff. Tout espace métrique (donc aussi tout espace métrisable) est à bases dénombrables de voisinages (prendre par exemple V = une boule (ouverte ou fermée) de centre x et de rayon 2).
En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. La plupart des espaces usuels de l'analyse et beaucoup d'espaces en analyse fonctionnelle sont à base dénombrable. Tout espace à base dénombrable est à la fois séparable, à bases dénombrables de voisinages et de Lindelöf (en particulier, pour un espace à base dénombrable, les trois propriétés quasi-compact/dénombrablement compact/séquentiellement compact sont équivalentes).
In mathematics, an axiom of countability is a property of certain mathematical objects that asserts the existence of a countable set with certain properties. Without such an axiom, such a set might not provably exist.