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Concept
Espace à bases dénombrables de voisinages
Résumé
En mathématiques, un espace topologique X est à bases dénombrables de voisinages si tout point x de X possède une base de voisinages dénombrable, c'est-à-dire s'il existe une suite V, V, V, ... de voisinages de x telle que tout voisinage de x contienne l'un des V. Cette notion a été introduite en 1914 par Felix Hausdorff.
Tout espace métrique (donc aussi tout espace métrisable) est à bases dénombrables de voisinages (prendre par exemple V = une boule (ouverte ou fermée) de centre x et de rayon 2).
Tout espace discret est à bases dénombrables de voisinages.
Tout espace à base dénombrable est à bases dénombrables de voisinages mais la réciproque est fausse :
l'espace vectoriel normé (donc métrique) l des suites bornées n'est pas à base dénombrable, ni même séparable ;
un ensemble non dénombrable (comme l'ensemble des réels), muni de la topologie discrète, non plus.
Tout espace parfaitement normal dénombrablement compact est à bases dénombrables de voisinages.
La topologie cofinie sur un ensemble non dénombrable n'est pas à bases dénombrables de voisinages.
Un autre contre-exemple est l'espace compact [0, ω] = ω + 1 (muni de la topologie de l'ordre) où ω désigne le premier ordinal non dénombrable. L'élément ω est un point limite du sous-ensemble [0, ω[ mais aucune suite d'éléments de ce sous-ensemble ne converge vers ω. En particulier, le point ω dans l'espace [0, ω] = ω + 1 n'a pas de base dénombrable de voisinages. Comme ω est le seul point de [0, ω] qui n'a pas de telle base, le sous-espace [0, ω[, lui, est à bases dénombrables de voisinages.
Le bouquet de cercles R/Z, où la droite réelle R est munie de sa topologie usuelle et tous les entiers relatifs sont identifiés à 0, n'est pas à bases dénombrables de voisinages mais seulement « de Fréchet-Urysohn » ( ci-dessous).
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Concepts associés (42)
Neighbourhood system
In topology and related areas of mathematics, the neighbourhood system, complete system of neighbourhoods, or neighbourhood filter for a point in a topological space is the collection of all neighbourhoods of Neighbourhood of a point or set An of a point (or subset) in a topological space is any open subset of that contains A is any subset that contains open neighbourhood of ; explicitly, is a neighbourhood of in if and only if there exists some open subset with . Equivalently, a neighborhood of is any set that contains in its topological interior.
Espace à bases dénombrables de voisinages
En mathématiques, un espace topologique X est à bases dénombrables de voisinages si tout point x de X possède une base de voisinages dénombrable, c'est-à-dire s'il existe une suite V, V, V, ... de voisinages de x telle que tout voisinage de x contienne l'un des V. Cette notion a été introduite en 1914 par Felix Hausdorff. Tout espace métrique (donc aussi tout espace métrisable) est à bases dénombrables de voisinages (prendre par exemple V = une boule (ouverte ou fermée) de centre x et de rayon 2).
Axiom of countability
In mathematics, an axiom of countability is a property of certain mathematical objects that asserts the existence of a countable set with certain properties. Without such an axiom, such a set might not provably exist.