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Concept
Trapèze circonscriptible
Résumé
droite|vignette|300x300px|Un trapèze circonscriptible
En géométrie euclidienne, un trapèze circonscriptible, également appelé trapèze tangent, est un trapèze dont les quatre côtés sont tous tangents à un cercle situé à l'intérieur du trapèze : le cercle inscrit. C'est un cas particulier de quadrilatère circonscriptible, dont au moins une paire de côtés opposés sont parallèles.
Les losanges et carrés sont des exemples de trapèzes circonscriptibles.
Un quadrilatère convexe est circonscriptible si et seulement si les côtés opposés vérifient le théorème de Pitot:
Ainsi, un quadrilatère circonscriptible est un trapèze si et seulement si l'une des deux propriétés suivantes est respectée (auquel cas les deux le sont):
Il a deux angles adjacents qui sont supplémentaires (alors c'est également le cas des deux autres angles). Spécifiquement, un quadrilatère circonscriptible ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] si et seulement si
Le produit des longueurs deux côtés consécutifs est égal au produit des longueurs des deux autres côtés. Spécifiquement, si e, f, g, h sont les longueurs des côtés issus respectivement des sommets A, B, C, D d'un quadrilatère circonscriptible ABCD, alors AB et CD sont les bases d'un trapèze si et seulement si
La formule de l'aire d'un trapèze peut être simplifiée en utilisant le théorème de Pitot pour obtenir une formule de l'aire d'un trapèze circonscriptible. Si les bases ont pour longueurs a et b, et si n'importe lequel des deux autres côtés a pour longueur c, alors l'aire K est donné par la formule
L'aire peut être exprimée en fonction des longueurs des côtés e, f, g, h par
Avec les mêmes notations que pour l'aire, le rayon du cercle inscrit est
Le diamètre du cercle inscrit est égal à la hauteur du trapèze circonscrit.
Ce rayon peut aussi être exprimé en fonction des longueurs par
De plus, si les longueurs e, f, g, h sont issues respectivement des sommets A, B, C, D et si [AB] est parallèle à [DC], alors
Si le cercle inscrit est tangent aux bases en deux points P et Q, alors les points P, I et Q are alignés, où I est le centre du cercle inscrit.
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