Suite de Farey

En mathématiques, la suite de Farey d'ordre est la suite finie formée par les fractions irréductibles de dénominateur inférieur ou égal à comprises entre 0 et 1, rangées dans l'ordre croissant. Certains auteurs ne restreignent pas les suites de Farey à l'intervalle de 0 à 1. Chaque suite de Farey commence par la valeur 0, décrite par la fraction et se termine par la valeur 1, décrite par la fraction (bien que certains auteurs omettent ces termes). Une suite de Farey est quelquefois appelée série de Farey, ce qui n'est pas véritablement correct, les termes n'étant pas additionnés. Les suites de Farey d'ordre 1 à 8 sont (les termes nouveaux étant colorés en vert): L'histoire des 'séries de Farey' est très curieuse — Hardy & Wright (1979) Chapitre III, page 268 une fois encore, l'homme dont le nom fut donné à la relation mathématique n'était pas celui qui l'a découverte. — Beiler (1964) Chapitre XVI Les suites de Farey portent le nom du géologue britannique Sir John Farey. Dans une lettre concernant ces suites publiée dans le Philosophical Magazine en 1816, Farey conjecture que chaque terme dans une telle suite est le médian de ses voisins — néanmoins, à ce que l'on connaît, il n'a pas prouvé cette propriété. La lettre de Farey a été lue par Cauchy, qui donna la preuve dans ses Exercices de mathématique, et attribua ce résultat à Farey. En fait, un autre mathématicien, , avait publié des résultats similaires en 1802 mais il n'était pas aussi connu que Farey ou Cauchy. Ainsi, c'est un accident historique qui relie le nom de Farey à ces suites . La suite de Farey d'ordre contient tous les éléments des suites de Farey d'ordre inférieur.

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Concepts associés (5)

Hypothèse de Riemann

En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale.

Fonction de Möbius

En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}. Elle intervient dans la formule d'inversion de Möbius. Elle est utilisée dans des branches différentes des mathématiques. Vue sous un angle élémentaire, la fonction de Möbius permet certains calculs de dénombrement, en particulier pour l'étude des p-groupes ou en théorie des graphes.

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