Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Théorème de Desargues
Résumé
En mathématiques, le théorème de Desargues, du nom du mathématicien et architecte Girard Desargues, est un théorème de géométrie projective, qui possède plusieurs variantes en géométrie affine. Il s'énonce uniquement en matière d'alignement de points et d'intersection de droites (voir ci-contre).
Le théorème de Desargues se démontre dans un plan ou un espace construit sur un corps quelconque (non nécessairement commutatif). Il se démontre également dans un espace de dimension supérieure ou égale à 3 caractérisé axiomatiquement en matière d'incidence (par exemple, dans le cas de la géométrie affine, par les axiomes de Hilbert).
En géométrie plane il peut être pris pour axiome, et caractérise alors, parmi les plans vus comme structures d'incidence, ceux qui peuvent être construits sur un corps (voir, pour le cas affine, Plan affine (structure d'incidence) et Plan affine arguésien).
D'une forme faible du théorème de Desargues dans le plan réel, et plus généralement dans un plan sur un corps quelconque, on déduit le théorème de Desargues projectif, et, par celui-ci, la forme affine forte du théorème.
En géométrie affine, l'énoncé du théorème de Desargues doit être modifié et complété pour prendre en compte le parallélisme. Cependant on nomme souvent théorème de Desargues les deux cas particuliers simples qui suivent.
Dans la première configuration, le théorème se déduit du théorème de Thalès et de sa réciproque. Appelons S le point de concours des trois droites p, q, r. Par le théorème de Thalès dans un triangle, les rapports des mesures algébriques de / et / d'une part, / et / d'autre part sont égaux, donc / et / sont égaux, et par la réciproque du même théorème (BC)//(B'C').
Dans la seconde configuration, on reconnaît deux parallélogrammes ayant un côté en commun ; les deux autres côtés parallèles définissent alors un parallélogramme.
La réciproque se déduit du sens direct par une méthode de « fausse position », en distinguant deux cas suivant que deux droites parmi les trois en jeu, prenons (AA') et (BB'), sont sécantes ou parallèles.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.