Moment (probabilités)

En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (i.e la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Ainsi, l'écart type est la racine carrée du moment centré d’ordre 2. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis. Le concept de moment est proche du concept de moment en physique. Pour tout entier , le moment dit « ordinaire » d’ordre de la variable aléatoire réelle est défini, s’il existe, par l'espérance de : De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article. La notion de moment en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique. Soit une fonction continue sur un intervalle (non réduit à un point) de . Étant donné un entier naturel , le moment d’ordre de est défini, sous réserve d’existence, par : Ce moment d’ordre est considéré comme existant si et seulement si est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si converge. Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente, ce moment est tout de même considéré comme non existant. De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également. Pour un entier naturel donné, l’ensemble des fonctions continues sur dont le moment d’ordre existe est un espace vectoriel réel, et l’application est une forme linéaire sur cet espace vectoriel. Soit une variable aléatoire réelle définie sur , de fonction de répartition et de loi de probabilité . Le moment (ou moment ordinaire, ou moment en 0) d’ordre de est défini, s’il existe, par : On a donc, d’après le théorème de transfert : Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire : si est discrète : si est absolument continue : D’après le deuxième axiome des probabilités, on a alors .