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Concept
Racine évidente
Résumé
L'expression racine évidente . Elle désigne une racine d'une équation que l'on peut trouver sans faire appel à une méthode élaborée comme la méthode de Cardan pour les équations du troisième degré ou bien encore la méthode de Ferrari ou la méthode de Descartes pour les équations du quatrième degré. De nos jours, l'usage d'une calculatrice graphique donne la courbe de la fonction, et en montre ainsi les racines. Une vérification s'impose toutefois, car des approximations peuvent apparaitre.
La recherche de racines rationnelles dans une équation à coefficients entiers est basée sur la propriété suivante, qui se déduit du lemme de Gauss :
En conséquence, pour rechercher une éventuelle racine rationnelle d'un polynôme, on établit la liste de tous les diviseurs de a et celle de tous les diviseurs de a et l'on essaye de remplacer l'inconnue dans l'équation par un rationnel de la forme p/q de toutes les façons possibles en choisissant p parmi les diviseurs de a et q parmi les diviseurs de a jusqu'à ce que l'équation soit vérifiée (une rapide étude de variations permet souvent de limiter ces essais en écartant d'emblée la plupart des « candidats » p/q).
En particulier si le polynôme est unitaire, ses seules éventuelles racines rationnelles sont nécessairement des entiers.
L'équationa une unique solution réelle, strictement comprise entre 0 et 1.
Les diviseurs positifs du coefficient dominant sont 1 et 3. Ceux du coefficient constant sont 1, 2, 5 et 10.
Par conséquent, les seuls rationnels susceptibles d'être des racines sont et .
En remplaçant x par chacune de ces deux valeurs, on trouve que est la solution.
Par application de l'identité et de l'égalité , les trois réels , et (strictement compris entre et ) sont les solutions de l'équationMontrons qu'ils sont irrationnels. Si une fraction irréductible était solution, on aurait et et même (en remarquant que le polynôme de degré 3 n'a pas de terme de degré 2), donc . Mais et sont différents des trois réels solutions. Ces derniers sont donc irrationnels.
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