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Concept
Équation différentielle linéaire
Résumé
Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions.
Une équation différentielle linéaire scalaire se présente comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées, de la forme
où a, a, ... a, b sont des fonctions numériques continues.
Une équation différentielle linéaire vectorielle aura le même aspect, en remplaçant les a par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x et b par une fonction de x à valeurs vectorielles. Une telle équation sera parfois aussi appelée système différentiel linéaire.
L'ordre de l'équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise, n dans l'exemple précédent. Il existe des méthodes générales de résolution pour les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 à coefficients variables ou d'ordre n à coefficients constants.
Celle-ci s'écrit, sous sa forme la plus générale :
où a, a, ... a, b sont des fonctions continues sur I un intervalle réel, à valeurs réelles ou complexes.
Cette équation, appelée aussi équation sans second membre, s'écrit :
Si l'on dispose de n « intégrales » (i.e. : solutions) particulières linéairement indépendantes :
en multipliant chaque équation respectivement par les constantes C, ..., C, la fonction
qui dépend de n constantes arbitraires satisfait l'équation : c'est l'intégrale générale de celle-ci.
Si, à cette fonction dépendant de n constantes arbitraires, est ajoutée une intégrale particulière de l'équation complète, la somme des deux satisfait l'équation complète : c'est l'intégrale générale de l'équation non homogène.
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