Équation différentielle linéaire

Résumé

Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions. Une équation différentielle linéaire scalaire se présente comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées, de la forme a_ny^{(n)}+\ldots+a_2y''+a_1y'+a_0y=b où a, a, … a, b sont des fonctions numériques continues. Une équation différentielle linéaire vectorielle aura le même aspect, en remplaçant les a par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x et b par une fonction de x à valeurs vectorielles. Une telle équation ser

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_lin%C3%A9aire

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Dynamical System Modeling of Self-Regulated Systems Undergoing Multiple Excitations: First Order Differential Equation Approach

Julien Gilles Edgar Gateau

This article proposes a dynamical system modeling approach for the analysis of longitudinal data of self-regulated homeostatic systems experiencing multiple excitations. It focuses on the evolution of a signal (e.g., heart rate) before, during, and after excitations taking the system out of its equilibrium (e.g., physical effort during cardiac stress testing). Such approach can be applied to a broad range of outcomes such as physiological processes in medicine and psychosocial processes in social sciences, and it allows to extract simple characteristics of the signal studied. The model is based on a first order linear differential equation with constant coefficients defined by three main parameters corresponding to the initial equilibrium value, the dynamic characteristic time, and the reaction to the excitation. Assuming the presence of interindividual variability (random effects) on these three parameters, we propose a two-step procedure to estimate them. We then compare the results of this analysis to several other estimation procedures in a simulation study that clarifies under which conditions parameters are accurately estimated. Finally, applications of this model are illustrated using cardiology data recorded during effort tests.

ROUTLEDGE JOURNALS, TAYLOR & FRANCIS LTD2020

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ON A GENERALIZATION OF THE POINCARE LEMMA TO EQUATIONS OF THE TYPE dw plus a Lambda w = f

David Valentin Strütt

We study the system of linear partial differential equations given by dw + a Lambda w = f, on open subsets of R-n, together with the algebraic equation da Lambda u = beta, where a is a given 1-form, f is a given (k + 1)-form, beta is a given k + 2-form, w and u are unknown k-forms. We show that if rank[da] >= 2(k+1) those equations have at most one solution, if rank[da] equivalent to 2m >= 2(k + 2) they are equivalent with beta = df + a Lambda f and if rank[da] equivalent to 2m >= 2(n - k) the first equation always admits a solution. Moreover, the differential equation is closely linked to the Poincare lemma. Nevertheless, as soon as a is nonexact, the addition of the term a Lambda w drastically changes the problem.

2018

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A Space-Time Adaptive Algorithm to Illustrate the Lack of Collision of a Rigid Disk Falling in an Incompressible Fluid

Samuel Dubuis, Marco Picasso

A space-time adaptive algorithm to solve the motion of a rigid disk in an incompressible Newtonian fluid is presented, which allows collision or quasi-collision processes to be computed with high accuracy. In particular, we recover the theoretical result proven in [M. Hillairet, Lack of collision between solid bodies in a 2D incompressible viscous flow, Comm. Partial Differential Equations 32 (2007), no. 7-9, 1345-1371], that the disk will never touch the boundary of the domain in finite time. Anisotropic, continuous piecewise linear finite elements are used for the space discretization, the Euler scheme for the time discretization. The adaptive criteria are based on a posteriori error estimates for simpler problems.

WALTER DE GRUYTER GMBH2021

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