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Concept
Équation différentielle linéaire
Résumé
Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions.
Une équation différentielle linéaire scalaire se présente comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées, de la forme
où a, a, ... a, b sont des fonctions numériques continues.
Une équation différentielle linéaire vectorielle aura le même aspect, en remplaçant les a par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x et b par une fonction de x à valeurs vectorielles. Une telle équation sera parfois aussi appelée système différentiel linéaire.
L'ordre de l'équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise, n dans l'exemple précédent. Il existe des méthodes générales de résolution pour les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 à coefficients variables ou d'ordre n à coefficients constants.
Celle-ci s'écrit, sous sa forme la plus générale :
où a, a, ... a, b sont des fonctions continues sur I un intervalle réel, à valeurs réelles ou complexes.
Cette équation, appelée aussi équation sans second membre, s'écrit :
Si l'on dispose de n « intégrales » (i.e. : solutions) particulières linéairement indépendantes :
en multipliant chaque équation respectivement par les constantes C, ..., C, la fonction
qui dépend de n constantes arbitraires satisfait l'équation : c'est l'intégrale générale de celle-ci.
Si, à cette fonction dépendant de n constantes arbitraires, est ajoutée une intégrale particulière de l'équation complète, la somme des deux satisfait l'équation complète : c'est l'intégrale générale de l'équation non homogène.
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En mathématiques, une équation différentielle ordinaire (parfois simplement appelée équation différentielle et abrégée en EDO) est une équation différentielle dont la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP) où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables.
Équation différentielle linéaire
Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. De plus, les équations différentielles linéaires apparaissent naturellement en perturbant une équation différentielle (non linéaire) autour d'une de ses solutions.
Équation différentielle
En mathématiques, une équation différentielle est une équation dont la ou les « inconnue(s) » sont des fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle. On distingue généralement deux types d'équations différentielles : les équations différentielles ordinaires (EDO) où la ou les fonctions inconnues recherchées ne dépendent que d'une seule variable ; les équations différentielles partielles, plutôt appelées équations aux dérivées partielles (EDP), où la ou les fonctions inconnues recherchées peuvent dépendre de plusieurs variables indépendantes.
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