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Concept
Wronskien
Résumé
En analyse mathématique, le wronskien, nommé ainsi en l'honneur de Josef Hoëné-Wronski, est le déterminant d'une famille de solutions d'un système différentiel linéaire homogène y' = ay. À l'aide du wronskien, il est possible de déterminer si cette famille constitue une base de l'espace des solutions.
En outre, même sans aucune information sur les solutions, l'équation d'évolution du wronskien est connue. Ceci donne une information quantitative précieuse et offre même une stratégie de résolution pour certaines équations différentielles.
Le wronskien peut être également défini pour des équations différentielles linéaires d'ordre supérieur, puisqu'on peut les ramener à l'ordre 1. Il est notamment très utile à la résolution des équations différentielles linéaires homogènes scalaires d'ordre 2 : y" = ay' + by.
Soit l'équation différentielle E : y" = ay' + by, dite linéaire homogène scalaire d'ordre 2 sous forme résolue, dans laquelle a et b sont des fonctions continues.
Si x1 et x2 sont deux solutions de cette équation, leur wronskien est défini par
right|upright=2|thumb|Exemple du pendule de longueur variable, sans amortissement.
L'équation est y" = –(2 + 0,4 . cos t) y En bleu et en rouge sont représentées deux solutions particulières, dans l'espace des phases. L'aire du triangle formé par les deux solutions reste constante au cours du temps
Alors qu'il n'est pas toujours possible d'exhiber une solution explicite de l'équation différentielle E, le wronskien peut être déterminé. Il satisfait l'équation d'évolution :
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1. Le wronskien peut donc être calculé à l'aide d'une primitive A de a
où W0 est une constante dépendant des conditions initiales.
Le wronskien s'interprète comme une aire dans le plan (y, y') appelé espace des phases par les physiciens. Le terme a dans l'équation différentielle E est qualifié de terme d'amortissement. L'aire du triangle formé par les valeurs de deux solutions reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon exponentielle s'il est strictement positif.
Source officielle
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