Groupe finivignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.
Groupe simpleEn mathématiques, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial. Un groupe est dit simple s'il a exactement deux sous-groupes distingués : ( étant l’élément neutre du groupe) et lui-même. Quelques exemples de groupes simples : Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes finis d'ordre premier (ces groupes sont cycliques). Le groupe SO_3(R) des matrices spéciales orthogonales d'ordre 3 à coefficients réels est simple.
Groupe alternéEn mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le groupe alterné de degré n, souvent noté An, est un sous-groupe distingué du groupe symétrique des permutations d'un ensemble fini à n éléments. Ce sous-groupe est constitué des permutations produits d'un nombre pair de transpositions. Une transposition est une permutation qui échange deux éléments et fixe tous les autres. Il existe un groupe alterné pour chaque entier n supérieur ou égal à 2 ; il se note habituellement An (ou parfois en écriture Fraktur) et possède n!/2 éléments.
Groupe de type de LieEn mathématiques, un groupe de type de Lie G(k) est un groupe (non nécessairement fini) de points rationnels d'un groupe algébrique linéaire réductif G à valeur dans le corps commutatif k. La classification des groupes simples finis montre que les groupes de types de Lie finis forment l'essentiel des groupes finis simples. Des cas particuliers incluent les groupes classiques, les groupes de Chevalley, les groupes de Steinberg et les groupes de Suzuki-Ree.
