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Concept
Groupe simple
Résumé
En mathématiques, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial.
Un groupe est dit simple s'il a exactement deux sous-groupes distingués : ( étant l’élément neutre du groupe) et lui-même.
Quelques exemples de groupes simples :
Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes finis d'ordre premier (ces groupes sont cycliques).
Le groupe SO_3(R) des matrices spéciales orthogonales d'ordre 3 à coefficients réels est simple. Plus généralement, les groupes SO_n(R) sont simples si et seulement si n est impair. Pour n pair, le groupe SO_n(R) contient le sous-groupe normal {Id, -Id}, et n'est pas simple. Le groupe quotient SO_n(R)/{Id, -Id} est simple si et seulement si le nombre pair n est supérieur ou égal à 6. Le groupe SO_4(R)/{Id, -Id} n'est pas simple, étant isomorphe au produit de SO_3(R) par lui-même.
Pour n supérieur ou égal à 5, le groupe alterné A sur n éléments est simple. Ce résultat est à la base de la théorie de la résolution par radicaux.
De nombreux groupes de type de Lie sont simples. C'est le cas, par exemple, du groupe simple d'ordre 168 qui peut être vu comme le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps fini à deux éléments.
Les groupes sporadiques.
Toute limite inductive de groupes simples qui n'est pas le groupe trivial est un groupe simple.
Le terme « simple » signifie que de tels groupes ne sont pas, en quelque sorte, « réductibles » à un groupe plus maniable. L'intérêt d'un sous-groupe distingué non trivial d'un groupe est souvent de permettre la construction du groupe quotient . L'étude de se ramène alors à celle de et de . Cette construction n'est pas possible pour un groupe simple et on ne peut donc pas ramener son étude à celle d'un groupe quotient de cardinal plus petit que lui.
Tout groupe simple non abélien est non résoluble.
Un groupe infini simple n'a pas de sous-groupe propre d'indice fini.
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