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Concept
Logique épistémique
Résumé
La logique épistémique est une logique modale qui permet de raisonner à propos de la connaissance d'un ou plusieurs agents. Elle permet aussi de raisonner sur les connaissances des connaissances des autres agents, etc. Son nom est tiré du nom grec epistḗmē qui signifie « connaissance » (du verbe epístamai « savoir »), d'où vient aussi le mot épistémologie. L'application de la logique épistémique à l'économie a été promue par Robert Aumann, Prix Nobel d'économie 2005.
Elle a été introduite par et Jaakko Hintikka. Elle est complétée par la logique de la connaissance commune qui met en œuvre plusieurs agents.
Nous ne présentons que la logique épistémique propositionnelle.
On introduit une modalité pour chaque agent . La construction signifie intuitivement que l'agent sait .
Les modèles de la logique épistémique sont les modèles de Kripke.
L'idée de Kripke est d'introduire des mondes possibles. Dans chaque monde, une relation (dite réalisabilité) indique quelles propositions atomiques sont vraies et quelles propositions atomiques sont fausses. En particulier, le monde actuel (réel) est un monde possible. Dans un monde possible donné, un agent imagine d'autres mondes comme possibles ou envisageables. Pour cela, une relation d'indistinguabilité est introduite pour chaque agent. S'il y a n agents, il y a donc n relations d'accessibilité étiquetée chacune par le nom de l'agent.
Dans un modèle de Kripke, on distingue:
un univers dont les éléments notés sont appelés des mondes,
pour chaque agent une relation dite relation d'accessibilité pour ,
une relation de réalisabilité entre un monde et une proposition , on écrit et on lit réalise .
Un cône est un ensemble de mondes () tels
si
et si pour tout entre et , on a ,
alors .
Une initialisation est une application qui associe à chaque variable un cône de .
Le triplet s'appelle un modèle ou une structure de Kripke. S'il n'y a pas d'ambiguïté on abandonne les indices .
La relation de réalisabilité, notée , ou quand il n'y a pas d'ambiguïté, se définit par induction sur la structure des propositions.
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