Théorie des singularitésvignette|droite|Visualisation de la fonction (x, y) → x2 + y2 Dans l'acception que lui a donnée René Thom, la théorie des singularités consiste à étudier des objets et des familles d'objets suivant leur degré de généricité. Dans une famille, l'objet peut subir des changements d'états ce que l'on appelle une bifurcation. Un exemple simple est donné par les courbes de niveau de la fonction : La courbe de niveau pour une valeur positive est un cercle. La valeur 0 est singulière et pour les valeurs négatives, la courbe est vide.
Linear system of divisorsIn algebraic geometry, a linear system of divisors is an algebraic generalization of the geometric notion of a family of curves; the dimension of the linear system corresponds to the number of parameters of the family. These arose first in the form of a linear system of algebraic curves in the projective plane. It assumed a more general form, through gradual generalisation, so that one could speak of linear equivalence of divisors D on a general scheme or even a ringed space (X, OX).
Surface cubiqueEn géométrie algébrique, une surface cubique est une variété algébrique surfacique. C'est donc une surface définie par un polynôme homogène de degré 3, dans l'espace projectif . On peut prendre par exemple égal à ou . Un résultat remarquable et non trivial de la géométrie algébrique est que dans le cas où la surface est non singulière (c'est-à-dire telle qu'en tout point de la surface au moins l'une des dérivées partielles du polynôme ne s'annule pas), on peut démontrer que si le corps de base est le corps des nombres complexes alors il y a exactement 27 droites sur cette surface cubique.
Normal schemeIn algebraic geometry, an algebraic variety or scheme X is normal if it is normal at every point, meaning that the local ring at the point is an integrally closed domain. An affine variety X (understood to be irreducible) is normal if and only if the ring O(X) of regular functions on X is an integrally closed domain. A variety X over a field is normal if and only if every finite birational morphism from any variety Y to X is an isomorphism. Normal varieties were introduced by .
Geometric genusIn algebraic geometry, the geometric genus is a basic birational invariant p_g of algebraic varieties and complex manifolds. The geometric genus can be defined for non-singular complex projective varieties and more generally for complex manifolds as the Hodge number h^n,0 (equal to h^0,n by Serre duality), that is, the dimension of the canonical linear system plus one. In other words for a variety V of complex dimension n it is the number of linearly independent holomorphic n-forms to be found on V.
Corps de fonctionsEn mathématiques, un corps de fonctions est un corps commutatif F de type fini sur un corps de base K. On le note habituellement F/K, ou, si le contexte est clair, seulement F. De façon équivalente un corps de fonctions « à n variables » est une extension finie F d'un corps K(t, ... , t) de fractions rationnelles à n indéterminées. F est alors de degré de transcendance n sur K. Une extension L de k est un corps de fonctions (à n variables) si et seulement si c'est le d'une variété algébrique intègre sur k (de dimension n).
Cone of curvesIn mathematics, the cone of curves (sometimes the Kleiman-Mori cone) of an algebraic variety is a combinatorial invariant of importance to the birational geometry of . Let be a proper variety. By definition, a (real) 1-cycle on is a formal linear combination of irreducible, reduced and proper curves , with coefficients . Numerical equivalence of 1-cycles is defined by intersections: two 1-cycles and are numerically equivalent if for every Cartier divisor on . Denote the real vector space of 1-cycles modulo numerical equivalence by .
Geometric invariant theoryIn mathematics, geometric invariant theory (or GIT) is a method for constructing quotients by group actions in algebraic geometry, used to construct moduli spaces. It was developed by David Mumford in 1965, using ideas from the paper in classical invariant theory. Geometric invariant theory studies an action of a group G on an algebraic variety (or scheme) X and provides techniques for forming the 'quotient' of X by G as a scheme with reasonable properties.
Federigo EnriquesFederigo Enriques, né le à Livourne et mort le à Rome, est un mathématicien italien, surtout connu aujourd'hui pour sa classification birationnelle des surfaces algébriques et pour d'autres contributions à la géométrie algébrique. Federigo Enriques est né à Livourne et grandit à Pise, dans une famille juive d'origine portugaise. Il est un étudiant de Guido Castelnuovo, puis devient un membre majeur de l'école italienne de géométrie algébrique. Il travaille aussi en géométrie différentielle.
