Théorème de Donsker

En théorie des probabilités, le théorème de Donsker établit la convergence en loi d'une marche aléatoire vers un processus stochastique gaussien. Il est parfois appelé le théorème central limite fonctionnel. Ce théorème est une référence pour la convergence en loi de marches aléatoires renormalisées vers un processus à temps continus. De nombreux théorèmes sont alors dits de « type Donsker ». Soient une suite iid de variables aléatoires centrées, de carré intégrable et de variance . On interpole la marche aléatoire de manière affine par morceaux en considérant le processus défini par pour t ∈ [0,1] et où [x] désigne la partie entière de x. Considérons l'espace des fonctions à valeurs réelles et continues sur [0,1]. On munit de la tribu borélienne et de la norme infini . Ainsi, est une variable aléatoire à valeurs dans . La suite converge en loi vers un mouvement brownien standard quand n tend vers l'infini. Ici B est vu comme un élément aléatoire de . Notons En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que converge en probabilité vers 0. Ainsi par le théorème central limite, (converge en loi) où N est une variable aléatoire de loi normale . De manière similaire, on obtient successivement où B est un mouvement brownien standard. Reste à montrer que la suite est tendue. Pour cela, on montre que On démontre d'abord cette convergence pour le cas où les variables sont normales. Pour généraliser à une loi quelconque, on utilise le théorème central limite et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour affiner les majorations. Soit une suite iid de variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1]. On note F la fonction de répartition commune des variables . ( ) On définit la fonction de répartition empirique Fn de l'échantillon X1,X2,...,Xn par ainsi que le processus empirique associé Wn par Considérons l'espace des fonctions càdlàg (continues à droite et avec limites à gauche) sur [0,1] muni de la topologie de Skorokhod. Théorème de Glivenko-Cantelli Test de Kolmogorov-Smirnov Donsker Catégorie:Mouvement brow