Pont brownien

En mathématique, plus précisément théorie des probabilités, un pont brownien standard est un processus stochastique à temps continu de même loi qu'un processus de Wiener mais conditionné à s'annuler en 0 et en 1. À ne pas confondre avec l'excursion brownienne. Le pont brownien standard est ainsi également appelé « mouvement brownien attaché » ("tied down Brownian motion" en anglais), « mouvement brownien attaché en 0 et 1 » ("Brownian motion tied down at 0 and 1" en anglais) ou « mouvement brownien épinglé » ("pinned Brownian motion" en anglais). Le pont brownien (non standard) est une généralisation du pont brownien standard en utilisant le conditionnement par l’événement . Un pont brownien standard est un processus stochastique à temps continu dont la loi est celle d'un processus de Wiener (modèle mathématique du mouvement brownien) sachant l’événement . Il s'agit d'un processus aléatoire gaussien, c'est-à-dire que la loi de probabilité de tout vecteur , conditionnellement à , est gaussienne. Il est alors caractérisé par sa moyenne et sa covariance : Remarque : l'événement est de probabilité nulle. Considérons alors l’événement de probabilité non nulle. On peut ainsi considérer la loi conditionnelle du mouvement brownien sachant . La convergence en loi suivante (propriété 12.3.2. du livre de R. Dudley): permet de donner un sens rigoureux à la définition du pont brownien. Propriété 1 Si est un processus de Wiener (ou mouvement brownien), alors le processus défini par est un pont brownien standard. Réciproque Si est un pont brownien standard et Z une variable aléatoire normale, alors les processus et définis par : sont des processus de Wiener. Propriété 2 Si est un processus de Wiener, alors le processus défini par est un pont brownien standard. Réciproque Si est un pont brownien standard, alors le processus défini par est un processus de Wiener. Le pont brownien et l'excursion brownienne sont deux objets mathématiques différents mais l'un peut se construire à partir de l'autre.