Noyau de la chaleur

En mathématiques, le noyau de la chaleur est une fonction de Green (également appelée solution élémentaire) de l'équation de la chaleur sur un domaine spécifié, avec éventuellement des conditions aux limites appropriées. C'est aussi un des outils principaux de l'étude du spectre du laplacien. Le noyau de la chaleur représente l'évolution de la température égale à une unité de chaleur en un point au temps initial. Le noyau de la chaleur dans l'espace libre Rd a pour expression et est solution de l'équation de la chaleur pour tout t > 0 et x,y ∈ Rd, avec la condition initiale où δ est la distribution de Dirac et la limite est prise au sens des distributions, c'est-à-dire que pour toute fonction test φ Soit un domaine compact de à bord . Sur ce domaine, on considère l'opérateur positif , où est le Laplacien, muni de conditions aux limites sur le bord du domaine (Dirichlet, Neumann, mixtes) qui fixent complètement le problème. L'opérateur positif est le générateur d'un semi-groupe continu dans . On peut alors écrire pour toute fonction f de carré sommable : La fonction K(x, y, t) est appelée le « noyau de la chaleur ». En effet, la fonction : est clairement une solution de l'équation de la chaleur : De plus, le semi-groupe tend vers l'identité lorsque le temps t tend vers zéro : de telle sorte que le noyau de la chaleur K doit avoir le comportement asymptotique : où est la distribution de Dirac. Ainsi, le noyau de la chaleur K(x, y, t) apparait comme étant une fonction de Green, ou solution élémentaire, de l'équation de la chaleur. Lorsque le domaine est compact, l'opérateur positif possède un spectre discret de valeurs propres auquel est associée une base hilbertienne de vecteurs propres (on utilise ici les notations de Dirac) : On peut alors écrire en introduisant deux fois la relation de fermeture : qui devient : La trace du noyau de la chaleur est définie par : Les états propres étant orthonormés, on remarque que l'on peut écrire : On a donc la relation fondamentale : Cette relation est liée à de nombreuses « formules des traces » comme celle de Selberg en géométrie hyperbolique, ou celle de Gutzwiller à l'approximation semi-classique.