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Concept
Hypercube
Résumé
Un hypercube est, en géométrie, un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe constituée de groupes de segments parallèles opposés alignés dans chacune des dimensions de l'espace, à angle droit les uns par rapport aux autres.
Un hypercube n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme « polytope de mesure » a aussi été utilisé (notamment par Coxeter), mais il est tombé en désuétude. Enfin, le cas particulier du 4-cube est souvent désigné par le terme de tesseract.
Si E est un espace euclidien de dimension n muni d'une base orthonormale, on définit un hypercube unité comme l'hypervolume délimité par les dans E ayant des coordonnées égales à 0 ou 1 reliés par des segments de droite. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des similitudes.
vignette|Animation montrant comment construire un tesseract à partir d'un point.
Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :
dimension 1 : un point est un hypercube de dimension zéro. Si l'on déplace ce point d'une longueur unité, il balaiera un segment de droite, qui est un hypercube unité de dimension 1
dimension 2 : si l'on déplace ce segment d'une longueur unité dans une direction perpendiculaire à partir de lui-même ; il balaie un carré bidimensionnel.
dimension 3 : si l'on déplace le carré d'une longueur unité dans la direction perpendiculaire à l'emplacement de celui-ci, il engendrera un cube tridimensionnel.
dimension 4 : si on déplace le cube d'une longueur unité dans la quatrième dimension, il engendrera un hypercube unité quadridimensionnel (un tesseract unité).
...
(Dimension n > 3 : on trace un hypercube de dimension n – 1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux.)
En résumé, la construction d'un hypercube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.
Les hypercubes constituent l'une des trois familles de polytopes réguliers qui sont représentés dans un nombre quelconque de dimensions (les deux autres sont les simplexes et les hyperoctaèdres).
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Proximité ontologique