vignette|300 px|La 3-sphère en rotation, projetée dans R3.
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une 3-sphère est l'analogue d'une sphère en dimension quatre. C'est l'ensemble des points équidistants d'un point central fixé dans un espace euclidien à 4 dimensions. Tout comme une sphère ordinaire (ou 2-sphère) est une surface bidimensionnelle formant la frontière d'une boule en trois dimensions, une 3-sphère est un objet à trois dimensions formant la frontière d'une boule à quatre dimensions. Une 3-sphère est un exemple de variété (différentielle) de dimension 3. Les 3-sphères sont aussi fréquemment appelées des hypersphères, mais ce terme peut en général être utilisé pour décrire n'importe quelle n-sphère pour n ≥ 3.
En coordonnées cartésiennes, une 3-sphère de centre (C0, C1, C2, C3) et de rayon r est l'ensemble de tous les points (x0, x1, x2, x3) de l'espace (à 4 dimensions) réel R4 tels que :
La 3-sphère centrée à l'origine et de rayon 1 s'appelle la 3-sphère unité, et est généralement notée S3 :
Il est souvent commode d'identifier R4 avec l'espace à deux dimensions complexes (C2), ou avec l'ensemble des quaternions (H). La 3-sphère unité est alors donnée par : ou : Cette dernière description est souvent la plus utile : tout comme le cercle unité du plan complexe est important dans l'étude des coordonnées polaires, la 3-sphère joue un rôle dans la représentation polaire utilisée pour le produit des quaternions (voir forme polaire des quaternions pour plus de détails).
Le volume tridimensionnel (encore appelé hyperaire) de la 3-sphère de rayon r est : alors que l'hypervolume (le volume de la région 4-dimensionnelle borné par la 3-sphère) est : Chaque intersection non vide d'une 3-sphère avec un hyperplan (tridimensionnel) est une 2-sphère, sauf si l'hyperplan est tangent à la 3-sphère, auquel cas l'intersection est réduite à un point. En déplaçant une 3-sphère à travers un hyperplan fixé, l'intersection est d'abord un point, puis devient une 2-sphère de rayon croissant jusqu'à atteindre le rayon de la 3-sphère lorsque l'hyperplan passe par son centre, et décroit à nouveau pour se réduire à un point quand la 3-sphère quitte l'hyperplan.
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vignette|Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres plus vastes où la multiplication n'est cette fois-ci plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur.
frame|L'équivalent en quatre dimensions du cube est le tesseract. On le voit ici en rotation, projeté dans l'espace usuel (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir).|alt=Animation d'un tesseract (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir). En mathématiques, et plus spécialement en géométrie, l'espace à quatre dimensions (souvent abrégé en 4D ; on parlera par exemple de rotations en 4D) est une extension abstraite du concept de l'espace usuel vu comme espace à trois dimensions : tandis que l'espace tridimensionnel nécessite la donnée de trois nombres, appelés dimensions, pour décrire la taille ou la position des objets, l'espace à quatre dimensions en nécessite quatre.
En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E.
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Couvre les intégrales de surface en mettant l'accent sur la paramétrisation régulière et l'importance de comprendre le vecteur normal.
For the Bargmann-Fock field on R-d with d >= 3, we prove that the critical level l(c) (d) of the percolation model formed by the excursion sets {f >= l} is strictly positive. This implies that for every l sufficiently close to 0 (in particular for the noda ...
The connectedness percolation threshold (phi(c)) for spherically symmetric, randomly distributed fractal aggregates is investigated as a function of the fractal dimension (d(F)) of the aggregates through a mean-field approach. A pair of aggregates (each of ...
This thesis is a study of the global well-posedness of the Cauchy problems for half-wave maps from the Minkowski space of dimension n+1 to the 2-dimensional sphere and the hyperbolic plane. The work is mainly based on the results from Krieger-Sire 17' in ...