Plan projectif réel

En géométrie, le plan projectif réel, noté RP ou P(R), est un exemple simple d'espace projectif (le corps des scalaires est constitué des nombres réels et la dimension est 2), permettant d'illustrer les mécanismes fondamentaux de la géométrie projective. Notamment, des représentations graphiques simples sont possibles qui font apparaître les caractéristiques propres à cette géométrie, contrairement au cas d'espaces construits sur d'autres corps. Du point de vue de la géométrie différentielle des surfaces, le plan projectif réel est la surface (compacte, connexe et sans bord) non orientable de genre 1. Le plan projectif réel est la structure obtenue en quotientant l'ensemble des vecteurs non nuls de R par la relation d'équivalence « être colinéaire ». Ainsi, il existe une bijection canonique entre le plan projectif réel et l'ensemble des droites vectorielles de l'espace vectoriel R : chaque élément du plan projectif, c'est-à-dire chaque classe d'équivalence, est une droite privée du vecteur nul. Ou encore, en termes affines : c'est l'espace affine usuel de dimension 3 duquel on retire un point considéré comme l'origine, puis dans lequel on identifie deux points lorsqu'ils sont alignés avec cette origine. Le plan projectif peut être vu comme constitué de deux parties : une partie affine, qui peut être identifiée au plan usuel, et une partie dite « à l'infini », qui est une droite projective réelle. Cette dernière est en bijection avec R ∪ {∞} (à ne pas confondre avec R ∪ {-∞, +∞}). En effet, une telle partition apparaît lorsqu'on fixe un plan affine ne passant pas par l'origine, par exemple le plan d'équation et qu'on associe, à chaque droite vectorielle non parallèle à ce plan, son point d'intersection avec ce plan. On met ainsi en bijection avec ce plan affine une partie du plan projectif réel, qu'on appelle partie affine. Les autres droites vectorielles (celles incluses dans le plan d'équation z = 0) constituent une , qu'on appelle droite à l'infini. Les vecteurs non nuls de R sont les triplets (x, y, z) de nombres réels non tous trois nuls.