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Concept
Fonction régulière non analytique
Résumé
En mathématiques, les fonctions régulières (i.e. les fonctions indéfiniment dérivables) et les fonctions analytiques sont deux types courants et d'importance parmi les fonctions. Si on peut prouver que toute fonction analytique réelle est régulière, la réciproque est fausse.
Une des applications des fonctions régulières à support compact est la construction de fonctions régularisantes, qui sont utilisées dans la théorie des fonctions généralisées, telle la théorie des distributions de Laurent Schwartz.
L'existence de fonctions régulières mais non analytiques représente la différence entre la géométrie différentielle et la géométrie analytique. En termes topologiques, on peut définir cette différence ainsi : le préfaisceau des fonctions différentiables sur une variété différentiable est fin, contrairement au cas analytique.
Les fonctions présentées dans cet article sont généralement utilisées pour construire des partitions de l’unité sur des variétés différentiables.
On considère la fonction sur la droite réelle :
La fonction est régulière
Les fonctions dérivées de tout ordre de f sont continues sur la droite réelle, avec :
où pn(x) est un polynôme de degré n − 1 défini par la suite p1(x) = 1 et
La fonction n'est pas analytique
La fonction f est donc indéfiniment dérivable en 0, et les valeurs de ses dérivées successives en 0 sont toutes nulles. Ainsi, le développement en série de Taylor de f converge en tout point vers la fonction nulle :
et le développement en série de f(x) ne converge pas vers f(x) pour x > 0. Ainsi, f n'est pas analytique en 0.
Étude sur le plan complexe
Cette pathologie n'apparait pas dans l'étude de la fonction dans le cadre de l'analyse complexe ; en effet, toutes les fonctions holomorphes sont analytiques.
On remarque que si f a des dérivées de tous ordres sur la droite réelle, le prolongement analytique de f sur la demi-droite positive x > 0 au plan complexe, défini par
a une singularité essentielle à l'origine, et n'y est donc pas continu, encore moins analytique.
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